— 528 — 

 equazione che rappresenta una conica che ha comuni colla data le i due punti 

 ne' quali questa è intersecata dalla retta u e i due punti all' infinito e ha il suo 

 centro nel polo della retta u : ciò dimostra che le coniche conjugate con una data k' 

 e che hanno i loro centri in una retta data u hanno per polo del loro contatto ciascuna 

 un punto di una conica simile alla le e similmente posta, che ha comuni con questa i 

 due punti sulla retta u e ha il suo centro nel polo della retta u ('). 

 Se la retta u è la retta all' infinito si ha 



u : v : w = a : b : e 

 e 1' equazione (U) diventa 



U') (j + m ■+■ j\ laS "+- m P* ■+■ n 7*) — 2 ( aa "+■ b P ■+■ c 7) s = ° : 



le coniche che hanno i loro centri nella retta all' infinito sono parabole, e con- 

 frontando 1' equazione (U') colla (k o ") del (n. 13) si conchiuderà che le parabole 

 conjugate colla k' hanno per polo del contatto ciascuna un punto della conica conjugata 

 colla k' in rispetto al suo centro ( 2 ). Queste parabole passano tutte pel centro della 

 conica k' ( 3 ) e infatti 1' equazione (&*) del (n. 5) col porre 



la* + m y +. nf = 2(«a-h^-t- C yr 



l m n 



si trasforma nella 

 (aa 



(a 2 b 8 c s \ 



b@ -+- cy) s {lx s -+- mif -\- ny s ) — ( -— -\ 1 Ylax -+- mfy ■+■ nyz) 



(') Si dimostra facilmente che di queste coniche due soltanto (n. 3) passano pel polo delia retta u 

 e queste hanno per assintoto comune la retta u medesima. Sia P il polo della retta u e k p la conica 

 conjugata colla k' in rispetto al punto P: la conica U intersecherà la k p in due punti sulla retta u 

 e in altri due punti M e N; le coniche lc m e k n conjugate colla k' in rispetto ai punti M e N 

 passeranno amendue pel punto P (n. 10) e avranno i loro centri sulla retta u ; se C m è il centro 

 della k m , la polare del punto C m incontra la k m in P e in un altro punto Q, le polari dei punti 

 P e Q sono gli assintoti della k m e il primo di questi assintoti è la retta u. In modo analogo si 

 trovano gli assintoti della conica k n uno dei quali è la retta u . — In generale quando una 

 conica k r conjugata colla k' in rispetto a mi punto R è una iperbola si potranno costruire i suoi 

 assintoti nel modo seguente : si trovi il centro C r della k r che sarà un punto deila retta che 

 congiunge il punto R col centro della k' ; la polare rispetto alla le' del punto C r intersecherà 

 la k r in due punti le polari dei quali sono gli assintoti della k r . 



( 2 ) Cfr. (n. 13) in fine. 



( 3 ) Ricerca della conica ecc., pag. 83 (35). 



