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La (V 3 ') rappresenta una conica determinata dai due punti all' infinito e dal 

 centro della k' e dai due punti nei quali quest' ultima conica è intersecata dalla 

 retta u ed è precisamente la conica S { ' del (n. 36) cosicché il problema presente 

 è un problema inverso di quello ivi risoluto. 



Se si riguardano le equazioni 



a) (u-j-t-v \-w- \(la s -¥- mj3 s -\- ny s ) — (uà -\-v(3-\- wy)(aa -+- b8 -+- cy) = 0, 



\ l m n) ' 



h) (°L + L- j --\ia s -i-mP s -hnY s ) — (aa-hbp + c 7 ) s = 0. 

 \ l m n / 



come quelle di due coniclie a e b , apparisce che la (S 3 ) rappresenta una linea 

 del 3" ordine S 3 determinata dai due punti all' infinito della conica k' dal punto 

 all' infinito della retta u dai due punti d' intersecazione della retta u colla conica k' 

 e dai quattro punti d' intersecazione delle due coniche a e b . L' equazione (a) 

 rappresenta la conica V 3 \ 1' equazione (b) è 1' equazione dei due assintoti della 

 conica k' : la linea S 3 ha dunque doppio contatto colla conica k' nella retta 

 all' infinito, passa pel punto all' infinito della retta ti pei due punti d' intersecazione 

 della k' colla retta u e pei due punti d' intersecazione nello spazio finito della 

 conica V s ' cogli assintoti della k' : ora questi due ultimi punti coincidono col 

 centro della k' pel quale passa la F 3 ', ed è infatti molto agevole verificare che 

 1' equazione (SJ) è soddisfatta se si assume 



n a b e 



a; p : y z=- ;— : - 



' l m ii 



come è facile riconoscere che la tangente la linea S 3 ' in questo punto ha per 

 equazione 



/ a b c V z. n ( aS bS ° S \r x a 



in - ~>t- v \-w- \{ax -+- bii -+- cz) — i — h 1 ){ux -+• vy -+- icz) = , 



\ l m nP \ l m n) 



che è 1' equazione di una retta parallela alla retta u . Perciò conchiuderemo che 

 data una retta u } le coniche conjugate colla k' } che hanno i loro centri in una conica V 

 determinata dai due punti all' infinito e dal centro della k' e dalle intersecazioni di 

 questa conica colla retta u, hanno per poli dei loro contatti i punti del sistema di due 

 linee formato dalla retta all' infinito e da una linea del 3° ordine a doppio contatto 

 colla k' nella retta all' infinito e che passa pel punto all' infinito della retta u , passa 

 pel centro della k' ed ha in questo punto la tangente parallela alla retta u, e passa pei 

 due punti d' intersecazione della retta u colla conica k' . 



