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 essendo dx 1' angolo infinitesimo aa t b e 1' area del quadrilatero sferico a t abc è : 



dx -+- dd — do ; 



ma siccome le due aree sferiche differiscono fra loro per il quadrilatero abpc , 

 infinitesimo d' ordine superiore, le possiamo eguagliare e risulta : 



do = dd -+- cos i dt . 

 Siccome poi ap = sen i dx , donde : 



ap ab seno" ds seno" 



sarà: 



dx — — - — - — 7 , 



seni sen? p sem 



ds 

 do = dd H coti* sene' ; 



P 



1 do .. 

 ma - = — , dunque : 

 r ds ^ 



1 dd coti ,, 



- = - — 1 sena . 



r ds p 



Perciò fra il raggio di curvatura p , il raggio di torsione r di una linea L descritta 

 sopra una sviluppabile, V inclinazione i di L sulle generatrici e V angolo d sotto il 

 quale i piani osculatori di L segano i piani tangenti della superficie sussiste la relazione: 



1 dd coti n 



(2) - = — - H sena . 



v r ds p 



7t ds 



Supponendo i = — , risulta dd = — e cioè i piani osculatori di una traiettoria 



ortogonale delle generatrici di una sviluppabile segano i piani tangenti di questa super- 

 ficie sotto un angolo il cui differenziale è eguale all' angolo di torsione della linea. 



Per d = costante, si ha — = coti seno", la quale mostra che la condizione — = co- 

 ' r . r 



stante {elica) è equivalente all' altra i = costante. 



La forinola (2) è della massima importanza nello studio delle sviluppabili ed 

 ora ne faremo alcune applicazioni. — Per i vari punti A di una linea L con- 

 duciamo delle rette g inclinate degli angoli i , i t , i s sulle tangenti J.§ , sulle nor- 



