— 651 — 

 tiare secondo quale legge si devono condurre delle perpendicolari ai piani osculatori o 

 ai piani rettificanti o ai piani normali di una linea L dello spazio, perchè la super- 

 ficie rigata che si genera sia sviluppabile. 



I. Caso - Perpendicolari ai piani osculatori. — In ogni piano osculatore di L si 

 conduca una retta inclinata dell' angolo 6 sulla normale principale e si prenda 

 su di essa un segmento qualunque T. Chiamando L. il luogo degli estremi, 

 avremo per coordinate de' suoi punti : <. 



Xj = x -+- T(cos a sen -+- cos /l cos 0) , ecc. 



e perciò le coordinate dei punti della superficie rigata sono date così : 



X = x 1 -+- v cos l , ecc. 



Da queste relazioni, essendo s i 1' arco di L { , ricaviamo : 



P=-\r cosd -h T(- — d')send\( C ^Y; Q=-J~Y; cosi = — - costf ^ 

 r[ \p / lydSj/ r'XdSj/ r ds t 



(è' ^ l 1 -*- 1 "^— T (-— °' )cos0] V ^I'coS^-tI-— 0' ìsenfljV y s sen s 



e la condizione (6), esprimente che la superficie è sviluppabile, diviene dopo 

 alcuni calcoli : 



(dj) S ~ ? cos ^ = [ T cos e ~*~ T (~ ~ °') stn d f 



la quale si riduce facilmente alla seguente : 



T' -+- T(d' — -)cotd -+- -^ = o . 

 \ p) sena 



Questa è, rispetto a T, un' equazione differenziale del 1° ordine lineare, che col- 

 1' integrazione offre : 



(8) 



m . ( f ds /(e- -i) cote <?*( -/(e- -ì") cote* 



II. Caso - Perpendicolari ai piani rettificanti. — In ogni piano rettificante di L 

 si conduca una retta inclinata sulla tangente di un angolo e si prenda su di 



