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Questo teorema è fondamentale per tutto quanto si riferisce alla deformazione 

 delle sviluppabili operata nel modo detto. Per mostrarne 1' importanza, ne farò 

 alcune applicazioni. 



La (12) determina una delle funzioni f(s) , <p(s) quando ne sia nota una, o più. 

 generalmente quando sia nota una relazione fra tali funzioni; si potrà dunque 

 dire deformando una sviluppabile in modo che le generatrici si conservino rettilinee, si 

 ■può sempre ridurre una linea L , descritta su di essa, a una geodetica d' un elicoide 

 sviluppabile , a una geodetica di un cono , a un' elica cilindrica , a una curva sferica, 

 a una curva piana. 



Intratteniamoci più particolarmente su questo ultimo caso; essendo ora -rr— = 0, 



<p(s) 



la (12) si può scrivere: 



\/P* -f*(s) cos'0 i~ l d / ,//)*— /'(a) cos'fl \ = = 

 p ] rfsl p I 



cot i cos 

 Ti ' 



da cui integrando : 



lo 



\/0 S f S (s) GOS S , f COt * COS 6 , 



*--£- — = log a — / ds , 



P ' P 



con a costante arbitraria. Questa relazione ci offre : 



^ = £e\ l -"°°-' f 



COt l cos t) , 

 ds 



Ad ogni valore che si dà ad a corrisponde una curva piana L J a cui è ridu- 

 cibile L con una flessione della sviluppabile ; al valore a = corrisponde la 



funzione f(s) = n e in tal caso il raggio della curva piana L. essendo eguale 

 J w cos ob fi 



al raggio di curvatura geodetica di L , si ha la riduzione della sviluppabile in un 



piano. Dunque una sviluppabile può deformarsi in infiniti modi sì da ridurre ima 



linea qualunque descritta su di essa in una curva piana; il raggio che acquista questa 



linea piana è dato dalla relazione : 



f(s)=P\/l 

 coso ' 



-coticost 



fi *k / n /-COli cobo 



P A/1 5—2/ ds 



cos 



v - - - - - 



essendo a una costante arbitraria ; fra tutte queste deformazioni vi è compresa quella 

 che riduce la sviluppabile a un piano e corrisponde al valore zero di a. 



