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 questo scopo, applicheremo le (l), eguagliando fra loro la prima e la seconda delle 



espressioni trovate per — ; tale confronto, colla soppressione della parte comune — 



ai due membri, dà (facendo uso dei nuovi simboli) : 



1 ds sen i , . ds . 



=— = — =- i da cui : H—p sen % -— ' . 



p ds t H r ds 



Ma siccome Jj t è geodetica della sviluppabile osculatrice di L , sega le generatrici 

 sotto un angolo il cui differenziale è eguale all' angolo di contingenza dello spigolo 

 di regresso ; dunque : 



di = — , d' onde : i = b -t- / — , 



P J P 



con b costante arbitraria. 



Ricordando quindi la (15), risulta: 



H=P y { i- nr^^^fJ), 



p* \ J p> 



che è la relazione da cui si deve ricavare H] essa può scriversi 



(17) 



H'-+-H-cot(b +/-) = ! 



che è un' equazione differenziale lineare del 1° ordine in H; la sua integrazione 

 porta alla forinola : 



(18) 



H=\c-+- j e J p v J ? J ds\e J p v J ? ' , 



con e costante arbitraria. 



Abbiamo dunque il teorema la condizione necessaria e sufficiente perchè una sfera 

 mobile osculi sempre una linea a doppia curvatura , è che il suo raggio si esprima in 

 funzione dell' arco della linea percorsa dal centro mediante la relazione ( 1 6 ) ; in cui H 

 è una funzione di s data per mezzo della (18). 



Le forinole (16), (18) contengono il solo raggio di curvatura p di L , e quindi 

 rimangono invariate flettendo in un modo qualunque la sviluppabile osculatrice 

 di L, in modo da conservare rettilinee le generatrici. Dunque se una sfera mobile, 

 percorrente col suo centro una curva L ; resta osculatrice a una linea dello spazio, non 



