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 partire dalla linea L e sia L t il luogo dei punti A t ; determiniamo tali segmenti T 

 in modo, che le linee L, L 1 abbiano nei punti corrispondenti le tangenti perpen- 

 dicolari. Le coordinate x n y n z d di A t sono legate alle coordinate x,y,z di A 

 mediante le relazioni : 



x t = x — T(cos X cos i -+- cos / sen i) , ecc. 



da cui: 



ex. ds. /. Tcosi\ \ _, . _,. „, T . ) , 

 t— * — ■ = { 1 I cosa -+- i cos ? -4- i (cos i) h sen i cos/, -+- 



!T 

 T' sen i cos i -+- JYsen i)' cos £ , ecc. 



r \ 



Da questa relazione e dalle altre due analoghe relative alle altre coordinate 

 deduciamo : 



cos 



dx i lYi T \ U< ■ mr v T \ * 



a . = -r- 1 = 1 1 1 cos % I cos a -+- i cos « -+- i (cos «) h sen i cos /i, 



ds 1 l\ p ) \ r ) 



T(sen?yJcos/l • |Yl costì -t- IT' cosi-hT(cosi)' +■— 



( , T 1*1—- 



'T'seni cosi-\-T(seni)'; 2 , ecc 



; 2" seni cosi-i- T(sen«)'[cos/| • j[ 1 — —cosi ) -+- ]T' cosi-t-T(cosi)' -+-— seni] 



Chiamando dunque <p Y angolo formato dalle tangenti alle linee L , L t in 



Tt 



punti corrispondenti, la condizione (p = — si trova equivalente all' altra : 



u 



T 



1 cos i = , d' onde : T cos i = p . 



P ^ 



Questa relazione fa vedere che se dal centro di curvatura di L eleviamo una 

 perpendicolare al piano osculatore (asse), questa retta incontra la AA t precisa- 

 mente nel punto A ± ; dunque sulla superficie rigata, luogo di un sistema arbitrario 

 di normali a una linea qualunque L, vi è sempre una e una sola linea L rf le cui 

 tangenti sono perpendicolari alle tangenti di L ; questa linea si ottiene intersecando le 

 normali condotte colle rette polari di L . 



In particolare, considerando la superficie rigata luogo delle normali principali 

 di L, avremo per tali rette i= e la relazione precedente diviene T=p. 

 Dunque sulla superficie rigata, luogo delle normali principali di una linea L ; vi è 

 una sola linea L y le cui tangenti sono perpendicolari alle corrispondenti tangenti di L ; 

 questa linea L i è il luogo dei centri di curvatura di L. 



