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 Dunque quando il raggio di curvatura p dello spigolo di regresso L della superficie 

 polare di una linea L., è costante ( = k ) il raggio di curvatura p 2 e il raggio R 2 

 della sfera osculatrice di L., sono dati in funzione dell'arco s di L, dalle equazioni: 



p s = T= — a sen j -+- b cos - — k , .#*= y « ? -+- & s -+- & 5 H-2&( a sen- ocos t ) • 



Non si può avere p s costante se non quando a = b = ; allora R s = costante 

 e 11= , le quali relazioni esprimono un teorema noto. 

 Se T=Htge, con £ costante, le (23) divengono: 



TT 77 



H' tang e -\ = 0, 1 — H' -ì tang e = , 



P P 



dalle quali si deduce : 



IX 



H' = cos ? e , — = — sen e cos e 

 P 



e quindi : 



II = a -+■ s cos s e , p = — ( h- s cot e ) 



' \ sene cose / 



Risulta allora: 



T— Htge = atge-i-s sen e cos e , J?« = [/H'-i- T~ = (« + s cos s f) cos e 



e quindi se il triangolo avente per vertici i punti di una curva L e i punti corri- 

 spondenti della linea L t de' suoi centri di curvatura e della linea L dei centri delle 

 sue sfere osculatrici è sempre simile a sé medesimo, il raggio di curvatura p di L ; 

 il raggio di curvatura T e il raggio della sfera osculatrice E,., di L e la distanza H 

 dei centri di curvatura ai centri delle sfere osculatrici di L sono quattro funzioni 

 lineari dell' arco s di L . 



T dJT 



Supponiamo — = costante = k ; essendo in questo caso - — = 1 -+- k , in causa 



della seconda (23), avremo: 



ff=(l+i)s + «. 



Dunque quando il raggio di curvatura di una linea L, è proporzionale al raggio di 

 curvatura dello spigolo di regresso L della sua sviluppabile polare, la distanza dei centri 

 dei cerchi osculatori ai centri delle sfere osculatrici di L, è una funzione lineare del- 

 l' arco di L ; e viceversa. 



