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T 



Facendo uso dei valori precedenti di H e di —, le (23) danno: 



T = l /b-2aks-k{l+ky , p ■= Z = \j b - _ ^ s _ l±ì s * ■ 



considerando quest' ultima relazione come 1' equazione intrinseca di una linea piana, 

 si scorge che questa è un' ipocieloide per qualunque valore positivo di k ed è 

 una sviluppante di cerchio per k = — 1. Dunque se il rapporto del raggio di cur- 

 vatura di ima linea L, al raggio di curvatura dello spigolo di regresso L della sua 

 sviluppabile polare è una costante positiva, ovvero è V unità, negativa, la curva piana in 

 cui si trasforma L ; quando la sua sviluppabile osculatrice si distende sopra un piano, 

 è rispettivamente una ipocicloide o una sviluppante di cerchio. 



Il teorema dimostrato al principio di questo § conduce a una notevole proprietà 

 delle superficie rigate. Sulla superficie rigata, avente la curva L per trajettoria 

 ortogonale delle generatrici, esiste una linea L t avente le tangenti perpendicolari 



p 



a quelle di L ; la distanza T fra i punti corrispondenti di L e L t è T = -*-—. . 



Se dunque anche L t è trajettoria ortogonale delle generatrici rettilinee, si deve avere : 



-. '== cost. 



cosi 



Ora -t— . è il raggio di curvatura che acquista L quando si riduca la superficie 

 cos % 



rigata, con flessioni che la mantengano tale, ad avere per generatrici le normali 

 principali della deformata di Li (*) ; dunque se sopra una superficie rigata vi sono 

 due traiettorie ortogonali L , L : delle generatrici, le cui tangenti in punti corrispondenti 

 siano perpendicolari, quando la superficie rigata si riduca, con flessioni che la manten- 

 gano tale, ad avere per generatrici o le normali principali di L o quelle di L, (cosa 

 sempre possibile) la linea L o la L ( rispettivamente acquista un raggio di curvatura 

 costante ed eguale alla distanza fra i punti corrispondenti delle due traiettorie delle 

 generatrici. 



Quando sia avvenuta la deformazione della superficie rigata che la riduca ad 

 avere per generatrici le normali principali della deformata di L, allora L t viene 

 ad essere il luogo dei centri di curvatura di L ; dunque se sopra una superficie 

 rigata vi sono due linee L ; L, trajettorie ortogonali delle generatrici le cui tangenti 

 siano perpendicolari, allorché con flessioni la superficie rigata è ridotta ad avere per 

 generatrici le normali principali della deformata di iena di esse, V altra diviene il luogo 

 ■dei centri di curvatura della prima. 



(*) Sulle superficie rigate. Giornale di Battaglini. 1887. 



