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 Supponiamo ora che L sia una linea a curvatura costante e sia L t il luogo 

 de' suoi centri di curvatura ; si deformi la superficie rigata delle normali principali 

 di L e si chiami p il raggio di curvatura che acquista L dopo la deformazione 

 e i V angolo che le normali principali della deformata di L fanno colle genera- 

 trici ; se - è la curvatura costante di L prima della deformazione, si avrà : 



COS3 



La relazione Tcosi = k dimostra che le deformate di L e di L { hanno le tangenti 

 perpendicolari ; dunque deformando la superfìcie delle normali principali di una 

 curva L a curvatura costante, questa linea e il luogo L l de' suoi centri di curvatura 

 sulla superficie deformata hanno le tangenti corrispondenii perpendicolari fra loro. 



§ e. 



Come una superficie rigata non è sempre un inviluppo di piani, così pure una 

 superficie luogo di un circolo non è sempre un inviluppo di sfere; vediamo 

 quando abbia luogo tale proprietà. 



Per questo, consideriamo una superficie inviluppo di una sfera di raggio B 

 che percorre col suo centro una curva L t e siano A e B due punti consecutivi 

 di L t . Le sfere di centri A e B determinano una sezione circolare , di cui il 

 centro C è posto sulla tangente in A alla L 1 ; sia B il raggio di questo cerchio, 

 H la distanza AC ed M un punto qualunque di tale cerchio. Il triangolo ABM 

 ci dà : 



. ./V AM ■+- AB'— MB 



cos (MAB) = - 



2AM- AB ' 



e poiché AM = B , MB = B-i-dR, AB = ds t , sarà : 



co S (MAB) = ^ (1 + ^Jds, - dR) - rf - 



e trascurando le parti infinitesime al secondo membro, si ha : 



cos(i»LL5) = — — , 



