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Abbiamo dunque il teorema onde un cerchio mobile generi una superficie inviluppo 

 di una sfera, è necessario e sufficiente che la sua posizione, rispetto alle direzioni 

 principali della linea L percorsa dal suo centro, sia definita dagli angoli i, i , ì dati 

 dalle (3) e che il suo raggio R sia dato dalla seconda delle (26), essendo H e s 

 definiti rispettivamente dalle (27) ; (28) e rappresentando una funzione di s data 

 dall' equazione differenziale (2). Soddisfatte tali condizioni, la superficie luogo del circolo 

 è V inviluppo di una sfera, che col centro percorre la curva L ( spigolo di regresso della 

 sviluppabile luogo delle normali ai cerchi condotte nei centri rispettivi, mentre che il 

 suo raggio si esprime per mezzo della prima delle (26). 



Il pi-oblema generale risoluto , che , come si è detto , ha il suo analogo nelle 

 superficie rigate, è ridotto alla ricerca di un integrale particolare dell' equazione 

 differenziale (2). 



Le considerazioni ora svolte permettono di dire la condizione necessaria e suffi- 

 ciente onde un cerchio mobile descriva un inviluppo di sfere è che le normali ai piani 

 dei cerchi condotte nel loro centro formino una sviluppabile , e che il raggio R sia 

 dato dalla relazione R = [/k -+- 2/HdSj — H% essendo k una costante, H la distanza 

 fra i plinti corrispondenti della curva L percorsa dal centro del cerchio e della 

 curva L ( percorsa dal centro della sfera , e s t V arco di L x . La superficie è allora 

 anche V inviluppo di una sfera che col suo centro percorre la curva Lj e il suo raggio 

 è R == j/k -+- 2/Hds, . 



Questo teorema, quantunque meno completo del precedente, può essergli pre- 

 feribile in molti casi ; con esso, tutte le volte che una superficie rigata ottenuta 

 con particolari costruzioni sia sviluppabile, si può dedurre che un' altra superficie 

 luogo di un circolo è un inviluppo di sfere. Per dare un esempio di questa mutua 

 dipendenza dei due problemi , supponiamo che un cerchio mobile si mantenga 

 sempre nei piani osculatori o nei piani rettificanti o nei piani normali di una 

 linea L, e vediamo di determinare le leggi più generali del suo movimento e 

 della sua variazione onde generi un inviluppo di sfere. 



I. Caso - Il cerchio mobile si trova sempre nei piani osculatori. — Si è già deter- 

 minato al § 2 in quali condizioni le perpendicolari ai piani osculatori di una linea 

 formano una sviluppabile ; la distanza H fra i punti di L t e quelli dello spigola 

 di regresso L della sviluppabile formata è : 



(29) H= — ~ = — ÀT' cos0-ì-t(- — 0'ìsenflj 



Q \ \p ì \ 



e i punti di L hanno per coordinate : 



x = x -+- T (cos a sen 6 -+- cos A cos 6) ■+■ H cos l , ecc. 



