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Considerando poi F elica che corrisponde al valore le di », la sezione retta L t 

 del cilindro che la contiene è il luogo delle estremità dei segmenti = (as -+- b)cos k 

 presi sulle normali alla spirale ; la curva L t è dunque, per il teorema precedente, 

 una spirale logaritmica eguale a L. Abbiamo così il notevole teorema: Sulla 

 superficie generata da un cerchio che percorre col suo centro una curva L restando 

 sempre normale col suo piano alla linea, i cerchi nelle varie posizioni e le loro traiet- 

 torie ortogonali Lw costituiscono mi doppio sistema di linee isoterme nel solo caso che 

 la curva L ; percorsa dal centro, sia una spirale logaritmica e che il raggio varii 

 proporzionalmente all' arco della spirale contato dal polo. Solamente in questo caso 

 avviene che, essendo piana la linea percorsa dal centro del cerchio, le linee hv traiet- 

 torie, ortogonali dei cerchi siano eliche poste sopra cilindri colle generatrici perpendicolari 

 al piano della spirale L ; queste eliche sono per di più cilindro-coniche e le sezioni 

 rette dei loro cilindri sono ' spirali logaritmiche eguali a quella percorsa dal centro del 

 cerchio, ed hanno tutte il medesimo polo. 



Consideriamo ora la superfìcie inviluppo di una sfera ebe percorre col centro 

 una spirale logaritmica e di cui il raggio varia proporzionalmente all' arco di 



questa, contato dal polo. 



dP 

 Siccome in questo caso R = as, la 2 a delle (25) dà H-=R — = a's ; la li- 

 nea L t si ottiene dunque staccando sulle tangenti della spirale L dei segmenti 

 proporzionali all' arco e quindi L f è una curva eguale aie collo stesso polo. 



La l a delle (25) dà R =z Ry 1 — I -— ) ==a[/l — a s s , e quindi il raggio R 



del cerchio, intersezione delle coppie di sfere consecutive, è proporzionale all' arco 

 di L e conseguentemente all' arco di L t . 



Sia il polo comune delle spirali L ì L i1 A e A t due punti corrispondenti 

 di queste curve, A t T la tangente a L t in A t e A t P la perpendicolare alla A t A 

 in A { ; il triangolo OAA t è in ogni sua posizione simile a sé stesso, poiché i suoi 

 lati sono proporzionali all' arco di L o di L t . Ora si ha : 



PA t T= TA t A — PA t A = TAfi -+- OA t A — PA t A — i £ -t- OA t A — ~ , 



ù 



essendo i V inclinazione dei raggi vettori sulla L t , e siccome i { e OA t A sono 

 costanti, sarà pure PA t T costante. 



Chiamando i quest' angolo, le coordinate d' un punto qualunque della superficie 

 possono scriversi : 



X = x — i? (sen i cos a — cos i cos A) cos v , 

 Y = y — i? (sen i cos /? — cos i cos (i) cos v , 

 Z = R„ sen v , 



