— 679 



essendo v 1' angolo che un raggio variabile del cerchio fa colla normale principale 



d R 7? 



di L ; allora, notando che - — -, — -, i sono costanti, si deduce: 



ds p ' 



r— ) = 1 -+- a s cos s v -+- 25 cost> ; 

 f = 2- — -— = i?_(sen i — B' cos v) sen » ; 



OS OV usi 



essendo a e b costanti. Si deduce allora: 



. . F (seni — R' cos?') sen w ; 



cos(s, y; = — = — a = funzione di v , 



[/ EGr \/ì -+- a s cos s v -+- 25 cosw 



eiò che dimostra che le linee v = cost. sono trajettorie isogonali dei cerchi s = cost. 

 Se 6 è 1' angolo formato dalle tangenti alle v = cost. coli' asse delle z , abbiamo : 



a 1 òZ R'seav . _ 



cos a = — == — = — z = funzione di v 



\/ E vs j/i _(_ a^cos'w -+- 25 cosw 



e quindi le linee v = cost. sono eliche tracciate sopra cilindri colle generatrici 

 parallele all' asse delle z . 



Se L è la sezione retta del cilindro che contiene una delle linee v, la linea L 

 si ottiene dalla spirale L conducendo per i punti di L delle rette inclinate sulla 

 linea di un angolo costante i e prendendo su di esse delle distanze proporzionali 

 all'arco di L; la L è dunque una spirale logaritmica eguale alle L, L f . Si ha 

 così il teorema generale : la superficie inviluppo di una sfera il cui centro percorre 

 una spirale logaritmica L mentre che il raggio varia proporzionalmente al suo arco 

 contato dal polo, si può considerare come il luogo di un cerchio di cui il centro 

 percorre una spirale logaritmica L ( eguale ad L e avente lo stesso polo, e il cui piano 

 {perpendicolare a quello delle curve L, L ]y ) fa un angolo costante colle tangenti di L x , 

 mentre che il suo raggio varia proporzionalmente all' arco di L, contato dal polo. Sopra 

 tale superficie esiste un sistema di eliche cilindro-coniche poste sopra cilindri le cui 

 generatrici sono perpendicolari al piano delle L , L t e le cui sezioni rette sono spirali 

 logaritmiche eguali alle L, L, . Tali eliche sono trajettorie isogonali delle linee di cur- 

 vatura e le rette che uniscono i punti di queste eliche coi centri dei cerchi generatori 

 corrispondenti sono inclinate sul piano delle L , L, di un angolo , che è costante per 

 ciascuna di tali eliche. 



