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Consideriamo una linea a doppia curvatura L e il cerchio osculatore in i; 

 se è il centro di curvatura di L e OB l' asse del cerchio osculatore, ogni cono 

 avente il vertice su questa retta e per base il cerchio osculatore ha 3 punti con- 

 secutivi sulla linea. Fra questi coni quello che risulta tangente alla sfera osculatrice 

 ha quattro punti consecutivi sulla linea e lo chiameremo cono osculatore ; si noti 

 però che esso è, fra i coni considerati, quello che ha colla linea un contatto più 

 forte, ma non è veramente il cono circolare osculatore di L, poiché per essere 

 tale bisognerebbe che avesse 6 punti consecutivi comuni. Determiniamo quel cono. 



Se P è il centro della sfera osculatrice, si ha : 



PA 



= Ve^(t) ■ 0A = » • 0P =l /PA'-OA>=r d £ , 



,s 



op — dp ' 



ds 



e se 6 è il semiangolo al vertice del cono, sarà : 



OA r dp 



tang = -r— = f- . 



6 OC p ds 



Si ha dunque il teorema: in una linea a doppia curvatura si ottiene il luogo dei 

 vertici dei coni osculatori prendendo sugli assi dei cerchi osculatori, partendo dal centro 



. „ P~ 



di curvatura, dei segmenti H = ; il semiangolo al vertice di questi coni è dato 



ds 



dalla relazione : tang = J- . 



p ds 



Ora osserviamo che le coordinate del centro di curvatura di L nel punto 



{x , y , z) sono : 



p' cosA — — cos£ 

 x t = x -+- p cos/l , ecc. d' onde: cosa i = = — . ecc. 



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