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■discorso, il signor Voss riduce essenzialmente il problema all' integrazione di un;v 

 equazione a derivate parziali del 2° ordine, ad ogni soluzione della quale egli fa 

 vedere che viene a corrispondere una determinata superficie della specie richiesta. 



Oggetto della presente nota è di sostituire un altro criterio a quello dato dal 

 signor Voss per riconoscere se una data superficie ammetta o no un sistema di 

 geodetiche a tangenti coniugate, e di trasformare inoltre in una più semplice 

 1' equazione differenziale su ricordata dalla quale dipende la ricerca delle super- 

 ficie di questa specie. 



Applicando poi il nuovo criterio alle superficie ad area minima, si dimostrerà 

 che non esiste che una sola superficie di tale specie che goda della proprietà in 

 discorso, 1' elicoide rigata, la quale però comparisce infinite volte come superficie 

 di Voss, ammettendo infiniti doppi sistemi di linee geodetiche a tangenti coniugate. 



1. Sia perciò S una superficie che supporremo determinata di forma per mezzo 

 delle sei funzioni E , F, G , D , D', D" delle due variabili neve sulla quale 

 ammetterremo inoltre che esistano effettivamente due serie di geodetiche formanti 

 un sistema coniugato. Rappresentando con 



(1) <fi{ u , v) = costi 



1' equazione di una di queste serie ed esprimendo che la loro curvatura geodetica 

 è nulla, sarà per una forinola di Bonnet 



ò ali 'òv ì> àv hi 



Ora, essendo le curve dell' altra serie a tangenti coniugate rispetto alle (p = eost. , 

 ne troveremo facilmente 1' equazione (differenziale) facendo uso della relazione 



(3) (Ddu -+- D'dv)du -+- (D'du -4- D"dv)dv = , 



la quale, come è noto, esprime che i due elementi che dal punto P =.(«,«) della 

 superficie vanno ai punti P { = (u -+- dn , u -t- dv) , P s = (u-t-du, v-i-dv) infini- 

 tamente vicini sono coniugati. Per questo , supposto che il punto P^ sia su una 

 <p = cost. , dovrà aver luogo 1' equazione 



cu ov 



