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 fra la quale e la (3) eliminando il rapporto duidv, otterremo subito l'altra 



(4) (d^-D- &)du -H (d> & - D" ^)dv = , 



\ CV cu/ \ cv cu) 



che sarà evidentemente 1' equazione differenziale cercata delle linee di 8 coniugate 

 alle (p = cost. Rimane da esprimere la condizione che queste linee sono geodetiche. 

 Per ciò si ponga per brevità 



CV CU CV cu 



con che la precedente equazione potrà scriversi sotto la forma più semplice 



(6) Mdu -+- Ndv = , 



e si esprima che la curvatura geodetica di queste linee deve essere nulla: faceudo 

 nuovamente uso della forinola di Bonnet, applicabile anche in questo caso, si 

 avrà 1' equazione 



o GM—FN o EN—FM 



li) ===== ■+- ===== = 



ou l /EN s — 2FMN -+- GM S ov j/ EN 8 — 2FMN -+- GM S 



la quale dovrà naturalmente coesistere colla (2). 



Ammesso dunque che la S sia una superficie della specie voluta, le equa- 

 zioni (2) e (7) dovranno necessariamenie avere soluzioni comuni. Inversamente, se 

 per una data superficie S le equazioni (2) e (7) hanno soluzioni comuni / la super- 

 ficie stessa sarà ricoperta da due serie di geodetiche formanti un sistema coniugato. 



Infatti se <fi è una soluzione comune alle predette equazioni, allora le due serie 

 di curve rappresentate rispettivamente dalle equazioni <p = cost. e dalla (4) saranno 

 evidentemente geodetiche della superficie; basterà quindi far vedere che esse for- 

 mano un doppio sistema a tangenti coniugate. 



Per questo sia (u -4- du , v -+- dv) un punto di una qualunque delle curve della 

 serie (p = cost. infinitamente vicino al punto (u -, v) della curva stessa; avrà luogo 

 1' equazione 



^-4-^=0, 



cu cv 



fra la quale e la (4) eliminando il rapporto ~: ~-, otterremo precisamente la (3), 



cv cu 



la quale esprime appunto la condizione, affinchè le due serie considerate di linee 



sieno coniugate. 



