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Possiamo quindi enunciare il teorema : La condizione necessaria e sufficienti 

 affinchè una superficie ammetta un doppio sistema di geodetiche a tangenti coniugate è 

 che le equazioni (2) e (7) ; avuto riguardo alle (5), abbiano soluzioni comuni. 



2. Facciamo un' applicazione delle forinole trovate alle superficie ad area 

 minima, cercando cioè di determinare le superficie di questa specie che ammet- 

 tono un doppio sistema di geodetiche coniugate. Troveremo facilmente che 1' unica 

 superficie fra quelle in discorso è 1' elicoide rigata. 



Infatti sia 5 una superficie ad area minima, che supporremo riferita alle sue 

 assintotiche. Ricordando che su queste superficie le assintotiche formano un doppio 

 sistema ortogonale e isotermo, detti u e v i parametri isometrici, 1' elemento lineare 

 della superficie potrà rappresentarsi colla forinola 



(8) ds s = A(du s -4-dv s ) . 



Ora, poiché in generale la curvatura K di una superficie è espressa da 



DD" — D' 8 



K = 



EG — F 



e ' 



e, nel nostro caso, essendo le « e v assintotiche, è evidentemente D= D" ' = . 

 sarà 



D' 2 



d' altra parte, siccome per una proprietà delle superficie minime il cui elemento 



lineare abbia la forma (8), la stessa curvatura è misurata da ^-g ; dovrà essere 



A 



e quindi D' = ± 1 . Avendo presente il significato di questa quantità , si vede 

 subito che è indifferente prendere per D' un segno piuttosto che l'altro, giacché 

 ciò equivale a un semplice cambiamento della direzione della normale alla 

 superficie. 



Scegliendo quindi per D ' il valore positivo , potremo applicare le forinole 

 generali superiormente stabilite, facendo in esse le sostituzioni 



E= G = À , F—0 , 



D= D" = 0, D'= L . 



