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 Viceversa, supponendo soddisfatta questa condizione, si vede per le (10) che 

 basterà prendere (p in guisa che si abbia 



*$. . ^ — 77 • V 



OV Oli 



ovvero 



Quanto alle equazioni delle due serie di geodetiche coniugate, che, come 

 abbiamo visto nel numero precedente, sono rappresentate dalle (l) e (6), si po- 

 tranno nel nostro caso ottenere in termini finiti, osservando che dalla (l) si ha, 

 ■differenziando, 



r~ du -+- P- dv ■■=. , 

 Oli ov 



e quindi, eliminando fra questa e la (12) le quantità --*- , ^~ , si avrà 



Udv -+- Vdu = , 

 da cui, integrando, 



,,„, fdu fdv 



(13) / r +J y = cost. 



Osservando poi che la (6), nella quale ad M , N siano sostituiti i valori (9) , 

 si riduce alla 



r 2 - dll -+- ~- tftf = , 



si dedurrà analogamente da essa e dalla (12) 



,„ ^ fdu I dv 



(14) J w -J T = cost., 



che sarà 1' equazione in termini finiti delle geodetiche coniugate rispetto a quelle 

 rappresentate dalla (13). 



L'espressione (11) che abbiamo trovata per À può ancora rendersi più semplice, 

 giacché, come andiamo ora a provare , una delle due funzioni U, V che in essa 

 compariscono deve essere eguale a una costante, mentre per 1' altra troveremo una 

 forma perfettamente determinata. 



