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 Sostituendo questi valori nella (16), essa si trasformerà nella 



<19) ({i -+- v)(c(^i — v) 4-^ + //-2) = f t ,J + v' s , 



•da cui, derivando rispetta ad u e dall' eguaglianza che si ottiene sopprimendo il 

 fattore comune (i\ avremo - 



2cu -+- /.• -t- k' — 2 = 2yì' == 2e^i -+- 2k , 

 ossia 



derivando la stessa ( 1 9) rispetto a v , risulterà analogamente 



k — le — 2 = , 



equazione evidentemente incompatibile colla precedente. Consideriamo ora il caso 

 in cui il valore della costante e che comparisce nella (18) sia eguale allo zero, 

 in cui cioè sia 



jU = , v = . 



Allora, siccome di qui si trae, integrando, 



■ [i = au s -+- (3u -+- y , v = «V -+- /?'p -4- 7' , 



essendo a, /?, y , «', /?', 7' costanti arbitrarie, sarà per la (16) 



2(«?« s -f- /&/ -4- 7 -t- a'v s -+- @'v-\-y'){a -+- a — 1) = (2au -+- $)* -4- (2a'v -+- ^') a , 



e quindi derivando tanto rispetto ad u , quanto rispetto a #, 



— a ■+- a' — 1 = 0, a — a — 1 = 0, 



eguaglianze evidentemente incompatibili. 



Affinchè dunque la (18) non sia una conseguenza della (17) bisognerà e basterà 

 che 1' una o 1' altra delle due quantità ( a' o v sia eguale allo zero, vale a dire 

 che X sia funzione di una sola delle due variabili u e v. Supposto che essa sia 

 funzione della u , vale a dire per la (11) che V sia eguale a una costante, la for- 

 ma (8) dell' elemento lineare della superficie mostra subito che le v debbono essere 

 geodetiche, ma per ipotesi sono anche assintotiche , quindi saranno linee rette e 

 perciò la superficie minima corrispondente sarà 1' elicoide rigata. 



