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 Ricordando poi che 1' elemento lineare di questa superficie, quando si riferisca 

 alle sue assintotiche, che sono le generatrici e le loro traiettorie ortogonali , può 

 ridursi alla forma 



ds s = m s cos h s u (dn s -+- dv s ) , 



essendo m il parametro del moto elicoidale, e v, u i parametri isometrici corri- 

 spondenti a dette linee, si avrà per la (11) 



V s -+- V s = m s cos h s u , 



dove V, per quello che abbiamo notato, è eguale a una costante arbitraria che 

 chiameremo n . Allora, poiché eli qui si trae 



U = ]/ m s cos h g u — n s , 



le equazioni (13) e (14) delle geodetiche della superficie, che, come abbiamo 

 veduto, formano un doppio sistema coniugato, si ridurranno alle due 



du v 



o - H = cost. 



\/ m s cos h s u — n s n 



f du 





y/m* cos h'u — n s n 



Queste equazioni mostrano, che, dipendentemente dagli infiniti valori di n . si hanno 

 sull' elicoide rigata ad area minima infiniti doppi sistemi di geodetiche a tangenti 

 coniugate, vale a dire che questa superficie può considerarsi oc i volte della specie 

 di quelle studiate dal sig. Voss. 



3. Come si è già avvertito, il problema della determinazione delle superficie 

 sulle quali due serie di geodetiche formano un sistema coniugato è stato ridotto 

 dallo stesso prof. Voss all' integrazione di un' equazione a derivate parziali del 2* 

 ordine, e precisamente dell' equazione 



a /DM 1—À \ *_(*M 1— À \ n 



(20) ^u 'in-/i/" 4 "^w 'i-H/iy ' 



nella quale M rappresenta la funzione incognita e Z è una quantità che soddisfa 

 1' equazione differenziale pure del 2° ordine 



(21) rr-^ì — ^^T~-*- 1 — À = °- 



y ' Mòv 1 — A àu ùv 



