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in serie secondo le potenze intere, positive e ascendenti della 0, sia con la sem- 

 plice divisione, sia col metodo dei Coefficienti Indeterminati, sia col teorema di 

 Mac-Laurin. Infatti così operando si ottiene sempre per questo primo termine 

 (a) la 



sen 2x — 6 S cos 2x sen 2x -+- 3 cos* 2x sen 2x.... 



e da qui si ricava 



1 1 



y = x — 6 sen 2x -+- - 6 8 sen ex — - d 3 (3 cos* 2x sen 2x — sen 3 2x).... 



Li O 



Per essere il moltiplicatore della quantità 



riducibile facilmente alla 



2 cos* 2x sen 2x -+- sen 2x (cos* 2x — sen 8 2x) 

 e quindi alla 



sen 4x cos 2x -t- sen 2x cos 4x = sen Qx 



essendo, come è noto, 



cos ex = cos s 2x — sen* 2x 

 eccetera, e così si ottiene 



y = x — 6 sen 2x -f- - 6 S sen 4x — - 3 sen 6x.... 

 J 2 3 



ed ecco intanto ottenuto lo sviluppo cercato in un modo diretto od analitico, senza 

 la teoria degl' Immaginari, a cui per l' invenzione si deve senza dubbio dare il 

 primato, e senza le due operazioni di differenziazione e d' integrazione, adoperato 

 dal Briinnow. 



Se non clie si può opporre clie le riduzioni richieste sono troppo intralciate e 

 lunghe, e non mostrano una induzione abbastanza manifesta, laonde per questa 

 obbiezione, che io stesso a me medesimo ho fatta, intrapresi a percorrere un'altra 

 via, sempi'e diretta. 



Senza por mente più alla (6) ho considerato il 2" membro della (5) quale 

 funzione 6 , ponendo cioè 



6 sen 2x 



,,„ r u sen zx 



