DELLA TRASFORMAZIONE DI LAPLACE 



E DI ALCUNE SUE APPLICAZIONI 



MEMORIA 



DEL PROF. SALVATORE PINCHERLE 



(Letta nella Sessione del 27 Febbraio 1887). 



Se una funzione analitica qualunque (p(y) della variabile y si muta in una 

 funzione di x mediante la posizione 



f(x) =fe**<p(y)dy , 



dove l' integrazione s' intende estesa ad una linea del piano y , si dice che sulla 

 (p(y) si è operato la trasformazione di Laplace (*). In questo lavoro si vuole con- 

 siderare questa trasformazione sotto un punto di vista nuovo : si vuole cioè riguar- 

 darla come una operazione funzionale (caso speciale di quelle di cui ho iniziato 

 lo studio in altro lavoro (**) ) definita da alcune sue proprietà caratteristiche — 

 mostrare come essa operazione dia un processo di formazione di numerose classi 

 di funzioni trascendenti, in ispecie intere, — e fra altre applicazioni, accennare 

 come se ne possa dedurre con facilità 1' intera teoria di Neumann ed Heine sulle 

 funzioni cilindriche. 



(*) Di questa trasformazione è noto l'uso già antico nell'integrazione di certe classi di equa- 

 zioni differenziali. Gl'importanti risultati che ha ottenuto di recente il Signor Poincaré mediante 

 1' applicazione di questa trasformazione, hanno richiamato ora l' attenzione su di essa. (V. Amerio. 

 Journal of Mathematics, t. VII, 1883, ed Acta Mathem., t. Vili, 1886). La trasformazione delle 

 equazioni differenziali lineari in equaz. alle differenze finite (V. una mia Nota nei Rendiconti 

 dell'Istituto Lombardo del 17 Giugno 1886, ed una memoria del Sig. Mellin, Acta Mathem., t. IX, 1886) 

 si può fare dipendere dalla medesima trasformazione con un semplice cambiamento di variabile. 

 Infine il calcolo simbolico delle derivate, che consiste nel sostituire gì' indici di derivazione con 

 esponenti, e che permette di risolvere, almeno formalmente , ogni equazione differenziale lineare 

 non omogenea a coefficienti costanti anche con un numero infinito di termini, trova una base con- 

 creta mediante la trasformazione di Laplace. Ignoro se quest' ultima osservazione sia già stata 

 fatta. 



(**) Studi sopra alcune operazioni funzionali. (Mem. della R. Accad. delle Scienze dell'Istituto 

 di Bologna, s. IV, t. VII). 



