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I. 



1. Indico con E((p) una operazione che applicata alla funzione analitica (p(y) 

 goda delle seguenti proprietà : 



a) Di rappresentare , almeno in campi convenientemente determinati nel 

 piano della variabile, una funzione analitica di x. 



b) Di essere distributiva. 



e) Di soddisfare, almeno nei campi del piano x cui si è accennato ad a). r 

 alle equazioni : 



(i) Tx *W = JW) > 



(2) &Q = - *(f ) 



dalla cui combinazione risulta, per ogni coppia di numeri interi e positivi m ed n, 

 Y equazione 



(3) 



d n x m E(<p) 



-^— - (- 1) E{y — J 



2. Si verifica facilmente la possibilità di realizzare una operazione funzionale 

 dotata effettivamente delle proprietà enunciate. Infatti , sia (p(y) una funzione ad 

 un valore in un campo K, essa e tutte le sue derivate, e sia A, una linea chiusa 

 formante il contorno di un campo semplicemente connesso tutto contenuto in K; 

 si trova immediatamente che per ogni valore finito di x , 1' integrale 



(4) /. 



rappresenta una funzione analitica regolare di x. L' espressione (4) è, di sua na- 

 tura, distributiva rispetto alla funzione (p ; derivando, si ottiene l'equazione (1) ; 

 integrando per parti, si ha l'equazione (2); ripetendo queste operazioni, le parti 

 finite che vengono dalle integrazioni per parti sono nulle ai limiti per le condi- 

 zioni poste : onde risulta 1' equazione (3). Talché 1' espressione (4) ha tutte le pro- 

 prietà poste a definizione dell' operazione E . 



3. Indicherò genericamente con a(y) quelle funzioni tali che applicandovi 

 1' operazione E, si ottenga per risultato zero. Nel caso che 1' operazione E sia 

 rappresentata dall' espressione (4) sono funzioni a tutte le funzioni ad un valore 

 e regolari nell' interno del campo chiuso dalla linea d' integrazione. 



