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 In tal caso, si prenda una linea d' integrazione che venga dall' infinito secondo 

 una di queste direzioni di argomento t , e torni all' infinito o secondo la medesima 

 direzione, o secondo un' altra delle predette, di argomento t\ , potendosi anche 

 ammettere che questa linea attraversi qualche taglio Riemanniano della funzione (p(y). 

 L' integrale 



oo« ft i 



fe*y<p{y)dy 



oae U 



godrà di tutte le proprietà dell' operazione E. 



Per fissare le idee, supponiamo che la direzione secondo cui y deve andare 

 all' infinito sia quella dell' asse reale e negativo. La linea d : integrazione A potrà 

 essere una qualunque curva che unisca il punto — co -+- ai al punto — <x> -\-bi. 



Se la funzione <p(y) è sviluppabile fuori di uri cerchio, la cui circonferenza 



non incontra la linea A , in una serie di potenze di - ; o se la linea A non in- 



y 



volge alcun punto singolare né attraversa alcun taglio Riemanniano della fun- 

 zione <p(y) , 1' integrale 



— oo-i-bi 



(18) fe*v(p(y)dy 



— oo-t-ai 



sarà nullo. Tali funzioni <fi(y) saranno dunque funzioni o per questo integrale, e 



tali saranno pure le funzioni y(f)(y) e j- . 



8. Si proponga ora di invertire l'integrale (18). Sia pertanto f(x) una funzione, 

 data in tutta la porzione del piano in cui la parte reale di a; è maggiore di un 

 numero a , e tale che sia 



lim e-*yf {h) (x) = , (k = 0, 1 , 2,...) 



per valori positivi di « e pei valori di y la cui parte reale è maggiore di un 

 numero b ; si domanda di determinare una funzione <fi(y) tale che sia 



£(^) =/(*), 



l'operazione E essendo ora rappresentata dall'integrale (18). 



Dico che la funzione (p(y) richiesta, se esiste, non differisce dalla 



(19) <p(y)=ff(x)e-*ydz 



