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 che per una funzione a. (Qui l'integrazione si fa lungo l'asse reale, ed a è un 

 numero reale maggiore di a). Infatti 1' espressione precedente soddisfa a tutte le 

 condizioni imposte al § 4 per l'operazione E' inversa di E, giacché, posto 



f = E'(f) , 

 si verifica immediatamente che 



t = ~ *™ 



e coli' integrazione per parti, che 



*"* = E (d%) "*" e ~ ay I f {n ~ l) ^ ■+■ yf (n ~^ a ) -*---*- y-M«) j , 



dove la parte fuori del segno nel secondo membro è evidentemente una funzione a. 

 Dunque la operazione (19), con cui si ottiene la ip(y), ha tutte le proprietà del- 

 l' operazione inversa di E, e la funzione <fi(y), se esiste, non differirà dalla (p(y) 

 che per una funzione a . 



Esempio. - Vogliasi trovare una funzione <p(y) tale che 



Je*v(p(y)dy 



x 



Questa funzione è data, all' infuori di una funzione addittiva a, da 



oo 



dx 



/dx 

 e ~* V ~x~ • 



Infatti, come riprova, si deduce da questa espressione : 



dip __ e~ a y 



dy y 



ì 



onde risulta che ip non è altro che — Li( — ay) , essendo Li la nota trascendente 

 detta integrale logaritmico. Ma questa, come si sa, equivale a 



— log y ■+- A(ay) , 

 dove A(ay) è una funzione intera che per ogni e positivo, soddisfa alla condizione 



lim A(ay)e- ca v = 0. 



