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 si ponga ora 



E{<p i )=f i , MW>=F, 



e viene 



m n — 1 m 



(3) 2^1=2 Za^/A 



A=0 «==0 k=0 



Questa trasformata dell'equazione (1) si traduce nel seguente: 



Teorema - „ Mediante la trasformazione di Laplace, alle funzioni algebriche di 



„ un dato corpo corrisponde una classe di funzioni aventi la proprietà di soddisfare 

 „ ad equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, il cui secondo membro 

 „ è funzione lineare a coefficienti costanti di n funzioni determinate. — Ogni 

 „ combinazione lineare differenziale a coefficienti costanti delle funzioni di questa 

 „ classe riproduce una funzione della classe stessa. — Ogni funzione della classe 

 „ soddisfa ad un' equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti razionali. „ 

 Notiamo per incidenza che le soluzioni delle equazioni a coefficienti costanti della 

 forma (3) si possono esprimere, almeno formalmente, in serie della forma 



n — 1 oo 



essendo ogni sistema di coefficienti c. h ricorrente, e precisamente eguale al sistema 

 dei coefficienti dello sviluppo in serie di potenze di y del quoziente 



«o-H aiy ■+- aty*-*—- a m y" 



10. L' operazione di Laplace applicata alle funzioni algebriche, serve dunque 

 alla generazione di infinite funzioni trascendenti, le quali si suddividono in classi 

 corrispondenti ai vari corpi di funzioni algebriche ; le funzioni di una stessa classe 

 sono legate fra loro dalle relazioni indicate nel Teorema precedente. Per uno 

 studio più intimo di queste funzioni, sarebbe necessario sviluppare maggiormente 

 le proprietà del corpo di funzioni algebriche specialmente in relazione colla super- 

 ficie di Riemann che gli corrisponde. Mentre mi propongo di riprendere questo 

 studio in altro lavoro , mi limito per ora al caso speciale abbastanza interessante 

 in cui il corpo di funzioni algebriche che si considera è di genere zero. 



Sia dunque (p(y) una funzione algebrica di genere zero, talché si possa porre 



(4) y = ?(*) , (p = 0(z) , 



essendo r} e d funzioni razionali della variabile z ; la prima delle equazioni (4), 



