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11. Le / v hanno le seguenti proprietà : 



a) Esse soddisfano ad equazioni differenziali lineari a coefficienti razionali ; 



b) Dalla (5) si deduce colla derivazione : 



(7) (h ■+- 2& 2 £ H H nb n z n - l )rj -+- (i ■+■ *i* H h b n z n )rf — ai-t- 2a 2 2 H h na n z n ~ l . 



Ora si ha 



(8) p = fePtoìiftsWdz 



e coli' integrazione per parti, supponendo nulla la parte ai limiti: 



(9) / v == ^— r feW(*)y'( z y+idz. 



Onde, moltiplicando la (7) per e^W z^+^dz ed integrando, viene 



1 ^-^ 1 ) * / ( v ~*~ 2) h f fo-t-n-t-1) tì!/ v>1 



(10) 



Questa è una relazione differenziale ricorrente (*) cui soddisfano n-\-\ fun- 

 zioni f consecutive. 



e) Infine la (5) stessa, moltiplicata per e x ^ z )z*dz ed integrata, dà in virtù 

 della (8) : 



(1 1) b f x - « / v -+- Si %*" - «i/v-i H---H 5 M ^ - a M /vH-« = ; 



che è una seconda relazione differenziale ricorrente , ma a coefficienti costanti ; 

 cui soddisfano n -+- 1 funzioni / v consecutive. 



12. Sia proposto il problema di sviluppare una data funzione F(x) in serie 

 di funzioni / v . A quest' oggetto osservo che se si pone 



w 



basterà di svolgere fy{y) in serie di potenze di z per avere lo sviluppo cercato 



(*) Tale relazione può anche dirsi equazione lineare mista differenziale ed alle differenze. 



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