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 di F(x). Ora si è visto (§ 4) che $(«/), se esiste, è dato dalla forinola 



$(y) = I F(x)e- x ydx -+- o{y) , 



dove la linea d' integrazione fi è da determinarsi convenientemente secondo le 

 condizioni poste al citato paragrafo. Perciò si determinerà $(«/):= $(^(0)) , e lo 

 sviluppo di questa per le potenze di z ci darà lo sviluppo di F(x) in serie di 

 funzioni / v . 



13. Per le funzioni 



&■ 



,(*, 0) =f< 





Z 



.V-4-l 



si troverebbero proprietà affatto analoghe alle a), bj, e) del § 11. 



Per le funzioni g v (%, a) basta ordinare i due termini di iq{z) secondo le potenze 

 di z — a per ottenere pure un sistema di proprietà analoghe. 



III. 



14. Facciamo ora 1' applicazione delle cose esposte alla dimostrazione delle 

 principali proprietà delle funzioni cilindriche. 



Prendiamo a quest' uopo il corpo di funzioni algebriche definito dall' equazione 



(1) 0»—y*=Ì, 



le cui funzioni si esprimono razionalmente mediante la variabile 2, legata ad y da 



(2) z 2 — 2zy — 1 = . 



Le funzioni da studiarsi si riconducono dunque alla forma 



(3) fé 



zl — \ 



e x 22 z'dz 



W 



dove il caso dell' esponente negativo non differisce da quello dell' esponente posi- 

 tivo, per essere le due radici in z della (2) reciproche e di segno contrario. 



Affinchè le espressioni (3) abbiano le proprietà dell' operazione E, conviene 

 prendere le linee d' integrazione come è indicato ai §§ 2 e 7 ; cioè che queste 

 linee siano nel piano y : 



