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le funzioni J v e K v soddisfaranno alla trasformata di Laplace di questa equa- 

 zione, cioè a 



(6) x 2 f" ■+- xf -+- (x 2 — v 2 )f = ; 



e poiché la K y contiene un termine logaritmico, mentre la J v è funzione intera, 

 ne viene che 1' integrale generale della (6) è della forma 



cJ v -+-c'K v . 



d) Applicando alle funzioni (4) la formola (11) del § 11, si trova 



9 dJ « — 7 T 



* ~dx~ ~ v ~ l ~~ J ^l ' 



(?) 



2 —j-^ = Zv— ì — -Kv-4-i ; 



e) Applicandovi invece la formola (10) del § 11, e combinando colla (7), 

 ai trova 



2vJ v = a?(Jv_i -+- i7vh-i) 



(8) 



2wZ- v = »(Zv_n- Z- v+ i) (*). 



16. Un' altra applicazione dell' inversione della operazione E, si può avere 

 come segue : 



Per definizione, abbiamo (§ 15, 6) 



dy 



J v =fé*»(y-*- ì /l-+-y*y-= 



|/1 + V 2 

 W 



perciò, essendo soddisfatta la condizione del § 4, si potrà invertire 1' integrazione 

 e porre 



oo 



m (y-H|/Wr = r 



|/l-4-«/ 2 ' 



(*) Le proprietà principali delle funzioni cilindriche, che ritroviamo qui mediante l' applica- 

 zione della trasformazione di Laplace, si possono vedere nell' Handhuch dei* Kugelfunctionen di 

 Heine, 2" edizione, t. I, pag. 233 e seg. 



