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si otterrebbe una funzione la quale soddisfa all' equazione (2) 6 soltanto nei punti 

 esterni allo spazio S. Ma, si torna ad ottenere una soluzione della detta equa- 

 zione (2) 6 , valida per tutto lo spazio, col porre 



(3). u=r^(i,?,c)-4^, 



cioè coli' estendere l'integrale non già ad uno spazio S a tre dimensioni, ma ad 

 una qualunque superficie a . Per tale seconda deterininazioae di C , le derivate di 

 questa funzione diventano certamente discontinue attraverso la superfìcie o : ma 

 questa circostanza non è d' alcun impedimento quando 1' equazione (2) 6 debba 

 verificarsi soltanto in una porzione dello spazio infinito e quando la superficie a 

 sia il limite di questa porzione di spazio. 



La citata equazione (2) 6 è quella che regge la propagazione del calore nei 

 corpi isotropi, e la soluzione (3) di quest' equazione è quella notissima che serve, 

 come ha stabilito Foueier, ad esprimere la temperatura variabile d' uno spazio 

 indefinito in ogni senso, quando è data la temperatura iniziale d'ogni punto: la 

 qual temperatura iniziale è rappresentata da una funzione che differisce dalla 

 &(£,^,£) unicamente per un fattore costante. 



La soluzione (3) o ha un carattere del tutto diverso, poiché corrisponde, mani- 

 festamente, ad uno stato iniziale nel quale la temperatura è nulla in ogni punto 

 dello spazio limitato dalla superficie a ; ed è sull' uso di questa seconda soluzione 

 che si fondano più specialmente le considerazioni che seguono. 



Ora importa osservare anzitutto che dalla soluzione (3) a si può ricavare un' altra 

 soluzione più generale, mediante 1' estensione d' un procedimento che viene molto 

 spesso adoperato nella teoria del calore. Alludiamo al procedimento col quale, 

 determinata che siasi la temperatura variabile V(x, y,z : f) d' un dato spazio sotto 

 le condizioni seguenti : 



1°) che la temperatura iniziale sia nulla iu ogni punto dello spazio con- 

 siderato ; 



2°) che la superficie limite di questo spazio sia mantenuta in ogni punto 

 alla temperatura unitaria ; 



si giunge a determinare la temperatura variabile del medesimo spazio nell'ipotesi 

 che, restando ferina la condizione 1°), la superficie limite sia mantenuta in ogni 

 punto ad una temperatura non più costante, ma variabile col tempo secondo una 

 legge continua qualunque f(t) (*). 



L' applicazione del procedimento in discorso conduce molto facilmente a trovare, 



(*) Questo enunciato può ricevere una assai maggiore estensione (cfr. Heine, Handbuch der 

 Kugeìfunctionen, volume II, p. 811-313): ma qui bastava riferirsi al caso più semplice. 



