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 quanto a quella che se ne deduce mutando t in t — z, poiché z non ha mai un 

 valore superiore a t : dunque la condizione necessaria e sufficiente affinchè la nuova 

 funzione u soddisfaccia all' equazione indefinita 



- = a*A s u 



è la (4) 6 , cioè è la condizione 1°), senz'altro. 



Che la nuova funzione u soddisfaccia anch' essa, come la E/, alla condizione 



(4), u(x,y,z,0) = 0, 



cioè all' ipotesi della temperatura iniziale nulla in tutto lo spazio considerato, è reso 

 manifesto dall'espressione (4) e dall'equazione (4) 6 , già ammessa valida in tutto 

 il detto spazio. Nulla invece si può dire circa la temperatura eh' essa assegna alla 

 superficie limite, se si prescinde da ogni altra ipotesi circa la determinazione della 

 primitiva temperatura U. Resta solo il fatto della deduzione, per mezzo dell' equa- 

 zione (4), d' una soluzione più generale u da una più particolare U, nell' ipotesi, 

 comune ad amendue, della temperatura iniziale nulla. 



§ 3. 



Applichiamo le forinole (3), (S) a ad un caso semplicissimo, a quello, cioè, d'uno 

 spazio sferico, per ciò che spetta alla prima, e d'una superficie sferica, per ciò 

 che spetta alla seconda; ammettendo inoltre che la densità k dipenda dalla sola 

 distanza dal centro, e che quindi essa sia costante quando si tratta della super- 

 ficie sferica. 



TI calcolo relativo allo spazio sferico è semplice e notissimo e conduce alla 

 formola (*) 



R 



o 



dove B è il raggio della sfera, r la distanza del centro di questa dal punto cui 

 si riferisce la temperatura U e finalmente G(r) una funzione che tiene le veci della 

 primitiva k (da cui non differisce che per un fattore costante) e che rappresenta 

 la temperatura iniziale della sfera, cioè il valore di U per ^=0. 



(*) la questa, coinè in ogni altra successiva forinola, la radice quadrata s' intende presa po- 

 si tivameute. 



