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è ds un arco elementare sulla (S) colla sua origine nel punto M(ti , v) e del 

 quale indicheremo con (s) la direzione ; poniamo 



da* = E'du s -+- 2F'dudv -+- G'dv* 



supponendo che da sia 1' immagine dell' arco ds della quale indicheremo con a 

 la direzione e rappresentiamo con X, Y , Z , i coseni direttori della normale alla 

 superficie (8) nel punto M. I coseni direttori delle tangenti gli archi elementari 

 ds e da sono rispettivamente 



dx dy dz dX dY dZ 



ds ' ds ' ds da ' c?cr ' ^ff 



e 1' angolo (sa) delle due tangenti è dato dalla formula 



dX dx dY dy dZ dz 

 da ds da ds da ds 



si ponga per brevità 

 D __ 2X— -- — 2 — — D' = 2Z — = — 2 — — = — 2 — — 



D" = 2X^ = -2^^, 



e 1' equazione precedente potrà scriversi 



Mu*-t- 2D'dudv ■+■ Z>"^ g 



= cos (sa) . 



Se (s) è una linea condotta ad arbitrio nella superficie (S) 1' angolo (sa) varia 

 in generale da punto a punto della linea ; tuttavia ci sono linee nella superficie (S) 

 che hanno le loro tangenti inclinate di un angolo costante alle tangenti nei punti 

 corrispondenti delle loro immagini. Col mezzo di siffatte linee si manifestano alcune 

 proprietà generali delle superficie, perciò mi proposi di cercarne per via diretta 

 ]' equazione e discutere le loro proprietà più notevoli, e così potei riconoscere che 

 esse costituiscono certe serie quadruplici di linee che non mi parvero prive d' in- 

 teresse anche perchè col loro mezzo si riesce a confermare risultamenti importanti 

 ottenuti da altri matematici che trattarono della rappresentazione sferica del 

 Gauss. (*) 



(*) V. intorno a questo argomento la Memoria del ch.mo prof. Dini : Sopra alcuni punti della 

 Teoria delle superficie, pubblicata sino dall' a. 1868 nel T. I, P. II, della Serie 3° delle Memorie 

 della Società Italiana delle Scienze. 



