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 1. Se nella superficie (S) sono linee che adempiano la predetta condizione la 

 quale è che le loro tangenti facciane un angolo costante colle tangenti nei punti 

 corrispondenti delle loro immagini, si otterrà la loro equazione generale col porre 



cos (sa) = A 



rappresentando A una costante il valore della quale ha per limiti l' unità negativa 

 e 1' unità positiva ; 1' equazione cercata è dunque 



K > dsda ~ — ' A — l • 



Per renderla più semplice suppongasi che i punti della superficie (S) sieno riferiti 

 alle sue linee di curvatura (u) e (v) come a linee coordinate, e se r t e r s sono 

 nel punto (u , v) i raggi principali di curvatura relativi alle linee (u) e (v) rispet- 

 tivamente, sarà 



D = — -i D' = 0, D''=z — -, E'=~, F' = F=0, G' = ~ ■ 



' S ' 1 ' S ' i 



E G 



ds 8 = Edu s -t- Gdv s , da s = — du s -+- —§ dv s ; 



r s r. 



così 1' equazione precedente si riduce alla 



— du s h dv s 



V Y 



\/(Edu s -+- Gdv s )( — s du s -^-^- s dv s \ 



e liberata dai radicali diventa 



(1) -fO — A')dv 4 -hEG(— — a(^ 1 -X)du*dv'-+- ^(1—A s )du 4 =0 ; 



r t \r,r s vr/ r s ~/j r/ 



e dimostra che per ogni punto (u , r) della superficie (S) passano quattro linee (reali 

 o immaginarie, distinte o coincidenti) nelle quali è costante e per tutte il medesimo 

 il quadrato del coseno dell' angolo che le loro tangenti fanno colle tangenti nei punti 



. corrispondenti delle loro immagini, e che ad ogni valore particolare del quadrato del 

 coseno corrisponde un particolare gruppo di quattro linee che hanno la ora detta 



proprietà. 



2. Se dv = <p(u , v)du è una soluzione algebrica dell' equazione (1) rappresen- 

 tante una linea che nomineremo (V), sarà dv = — (p(u,v)du una delle altre tre 



