— 664 — 

 soluzioni e rappresenterà una seconda linea (s") : 1' angolo d che 1' arco elemen- 

 tare ds congiungente i punti (u , v) e (u -+- du , v -+- dv) fa colla linea di curva- 

 tura (y) è dato in generale dalla formula 



,n \ IG dv 



la quale applicata alle linee (s) e (s") dà gli angoli 6' e #" che esse fanno colla 

 linea di curvatura (v) sotto la forma 



tg o' = <p(u,v) \/| , tg e" = - ft«, v) y| , 



e da ciò si dedurrà che /e quattro linee che s' intersecano in un punto qualsivoglia 

 (u,v) della superficie (S) e che soddisfanno l'equazione (1), se sono reali, so?io in 

 prossimità del punto (u , v) disposte due a due simmetricamente rispetto a ciascuna delle 

 due linee di curvatura della superficie stessa in quel punto. 



3. Noteremo subito che per ogni punto particolare (u , v) della superficie e per un 

 dato valore di A B le quattro radici dell' equazione (1) sono o tutte reali o tutte imma- 

 ginarie. Infatti l'equazione (1) risolta rispetto al rapporto (dv s :du s ) diventa 



' ,„, /dv\ s E 



(3) (£) = 2Gr s s (l—A*) { A \ r i S ^ r ")—^ r t r ^ A ^— r ^ A \ r ^ T ò l> —^^2 \ » 



ed è chiaro che le quattro radici dell' equazione saranno immaginarie se il valore 

 assegnato alla costante A 8 renderà negativa la quantità che apparisce sotto il 

 vincolo radicale : se poi quest' ultima quantità non è negativa non potrà essere 

 negativa neanche la somma dei due termini che fra le parentesi precedono il 

 doppio segno zt perchè è necessariamente 



l'(r f s +0 — 2r t r g > A s (r s ■+- r ,)* — 4r,r s 



qualunque sia il valore del quadrato A s il quale non può superare 1' unità : 

 affinchè dunque le quattro radici dell' equazione sieno reali quando la quantità 

 che nella (3) apparisce sotto il segno radicale non è negativa basterà sia 



A\rfr+-r/) — 2r t r s > A{r e —r t ) ] /A s {r s -+- r s ) s — 4r t r s 



ossia liberando dai radicali 



4r/r/(l — A*) s > 



