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 condizione che è sempre adempita. Pertanto le quattro radici dell' equazione (l)v 

 sono reali: 1° per tutti i valori che può ricevere il quadrato A s in tutti i punti 

 della superficie nei quali la curvatura totale (1 : r t r g ) è negativa ; 2° per quei 

 valori del quadrato A s che adempiono la condizione 



(4) A ~ 



(v^vs) 



in tutti i punti della superficie nei quali la curvatura totale (1 : r t r ) è positiva. 



4. La forma dell' equazione (1) è tale che le sue quattro radici non variano- 

 se si cangia segno alla quantità A : però in ciascuna separatamente delle quattro 

 linee che Y equazione rappresenta se A con un dato segno è il coseno dell' angolo 

 delle due rette tangenti 1' una in un punto M la linea che si considera, 1' altra 

 nel punto fi corrispondente di M 1' immagine della linea, per legge di continuità-, 

 il valore del coseno si manterrà il medesimo per tutta la linea. Del resto non 

 sempre è necessario tener conto del segno del coseno A , segno che in ogni caso 

 si può determinare per una data linea ricorrendo direttamente alla formula (A),. 

 poiché se un arco elementare ds fa nel punto (u : v) colla sua immagine da l'an- 

 golo jt — oc, esso farà l'angolo — a coli' arco — da, e in questo senso si può fare 

 astrazione dal segno della A e ritenere che le quattro linee rappresentate dall' equa- 

 zione (1) sono tali che le loro tangenti fanno colle tangenti nei punti corrispondenti 

 delle loro immagini un angolo costante che in valore assoluto è il medesimo per tutte 

 quattro le linee. Di qui innanzi chiameremo (s t .) « := 1,2,3,4 le quattro linee rap- 

 presentate dall'equazione (1) corrispondenti a un medesimo valore di A s . 



5. Le quattro soluzioni dell' equazione (1) possono in casi particolari ridursi; 

 a due sole e voglionsi notare i seguenti : 



1°. Per A s = 1 l'equazione (1) diventa 



— Eg(- — -) du s dv 8 = 



e se non è r t -=■ r s le quattro linee si riducono a due sole che sono le linee di 

 curvatura: è noto infatti che fatta astrazione da certi punti singolari che possono 

 incontrarsi in una superficie che non sia una sfera, le sue linee di curvatura 

 soltanto hanno le loro tangenti parallele alle tangenti nei punti corrispondenti 

 delle loro immagini. 



2°. Per A s =0 l'equazióne (1) prende la forma 



(-dv'-t--du'Yz=Q 

 \r 1 r s ) 



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