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anche in questo caso adunque le quattro linee si chiudono due nell' una e due 

 nell' altra delle linee rappresentate dall' equazione 



G E 



.(5) — dv*-t-— du s =0 



r t r s 



che è 1' equazione delle linee assintotiche che passano pel punto (u , v) : onde le 

 linee assintotiche, se reali, sono le sole linee della superficie che hanno le loro tangenti 

 perpendicolari alle tangenti nei punti corrispondenti delle loro immagini. 



6. Indichiamo con a s e b s i due valori del rapporto (dv s : du s ) che soddisfanno 

 1' equazione ( 1 ) : sarà 



E^r, 



G*r 



(6) a'b* = -'-*-,, 



le quattro radici dell' equazione potranno essere indicate separatamente 



dv dv -, dv dv 



du du du du 



e queste quattro equazioni rappresenteranno le quattro linee (s s .) che s' intersecano 

 nel punto (u,v) e che nomineremo ordinatamente (s,), (s s ), (s 3 ), {s 4 ). La relazione 

 fra la direzione della tangente una linea e quella della tangente conjugata allorché 

 si passa dal punto (u , v) al punto (u •+- du , v •+- dv) sulla linea ovvero al punto 

 (u -+- du , v -t- dv) sulla tangente conjugata è espressa in generale colla formula 



D dudu -+- D'(dudv ■+■ dvdu) -+- D"dvdv = , 



la quale, quando i punti della superficie sono riferiti alle linee di curvatura, come 

 qui si suppone, prende la forma 



(7) ldudu+®dvdv^b, dvdv = _Er ±: 



r s r t du ou G r s 



per la formula (6) soddisfanno a questa condizione le direzioni delle linee (s t ) 

 e (s 4 ) come pure quelle delle linee (s s ) e (s 3 ) nei punti nei quali la curvatura 

 totale della superficie è positiva, vi soddisfanno invece le direzioni delle linee (s t ) 

 e (s s ) e quelle delle linee (s 3 ) e (s 4 ) nei punti nei quali la curvatura totale della 

 superficie è negativa ; perciò qualunque sia il segno della curvatura totale della 

 superficie in quel punto (u , v) di essa che si considera , le quattro linee (s t ) sotto 

 così disposte che nel loro punto comune (u , v) due di esse hanno direzione conjugata a 

 quella delle altre due una alV una V altra all' altra. 



