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7. Le quattro linee (s t ) che soddisfanno 1' equazione (1) sono dunque disposte 

 intorno al loro punto comune e in prossimità di questo punto in modo (n. 2 e 6) 

 che relativamente a una di esse, per esempio (s i ), una delle tre rimanenti è sim- 

 metrica con essa rispetto alle linee di curvatura, un' altra ha con essa direzione 

 conjugata e con questa seconda è, rispetto alle linee di curvatura , simmetrica la 

 terza. Diremo conjugate 1' una all' altra due linee che soddisfacendo all' equa- 

 zione (1) hanno nel punto (u , v) direzioni conjugate e diremo antico nj uff ate due 

 linee che soddisfacendo all' equazione (1) hanno ciascuna nel punto (w, v) direzione 

 simmetrica rispetto alle linee di curvatura colla conjugata dell' altra. Così se nel 

 punto (w , v) la curvatura totale della superficie è positiva, sono linee conjugate 

 le linee (s f ) e (s 4 ) come le linee (s s ) e (s 3 ) (n. 6) e sono anticonjugate le linee 

 (s t ) e (s s ) come pure le linee (s 3 ), e (s 4 ) e se la curvatura totale nel punto (u , v)- 

 è negativa, sono invece conjugate tanto le linee (s t ) e (s p ) come le linee (s 3 ) e 

 (s 4 ) e sono anticonjugate le (s { ) e (s 4 ) e le (s.,) e (s 3 ). 



8. Sieno ds' , ds" due archi elementari uscenti dal punto (u,v) di due linee (sj- 

 conjugate e da', da" le loro immagini; i due primi facciano gli angoli 6', 6' 

 rispettivamente colla linea di curvatura (v) e similmente i due secondi facciano- 

 gli angoli x et" colla immagine della linea (v) : poniamo 



ds' 9 = Edu s -+- Gdv* , ds" s = Edu s ■+- Gdv 2 , 



da' B = — s du s -+- — s dv s , da" 2 = — s du s -4- — s dv s ; 

 r s s r* ry r* 



si supponga positiva nel punto (u , v) la curvatura totale della superficie e per le 

 formule (2) e (7) si avrà 



... \ IG dv Qn \ IG dv \ IG r p dv ,, -v jG r s dv 



%»=\Mé;> ^ e =\Eh,' •* = "Vj^s- * % =, vif,H' 



dv dv du du 



ra> a"\ \I G du du „ ■% G dv dv 



tg(0-0) = \/ 1 — . <g(g-0 = -Vj _ r _ i 



tg(0'-d") = -tg(T'-T"): 



se al contrario la curvatura totale della superficie nel punto (u , v) si suppone ne- 

 gativa si trova invece 



tg(0' — 0") = tg(T' — t") 

 onde : V angolo die nel punto (u , v) una qualsivoglia delle quattro linee (s.) fa colla 



