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 sua conjugata e V angolo che le immagini delle due linee conjugate fanno nel punto fj. 

 corrispondente del punto M sono o angoli eguali o angoli supplementari V uno del- 

 l' altro. 



9. Una linea qualsivoglia 



(ip,) = ip,(u,v) = 



della superfìcie è in ogni suo punto a contatto con una delle linee (s t ) corrispon- 

 dente a un valore particolare del coseno A , valore che varia da punto a punto. 

 Se in uno dei suoi punti M(u,v) la sua tangente fa 1' angolo a colla tangente 

 nel punto corrispondente <u della sua immagine, essa sarà a contatto nel punto M 

 con una delle linee (s^ appartenenti alla quadruplice serie delle linee che dirò (p{a) 

 rappresentate dall'equazione (1) quando vi si pone J.:=cosa; similmente la 

 stessa linea (ip { ) nel punto (u -+- du , v -+- dv) riuscirà tangente una linea della 

 serie quadruplice delle linee <p(a -+- da) corrispondente al valore A = cos (a -+- da) 

 e cosi di seguito. Ciò posto, conducasi per un punto qualsivoglia M della linea (ip t ) 

 la tangente (t t ) a questa linea e la tangente conjugata {t 9 ), le rette (t t ) e (t ) a- 

 vranno nel punto M le direzioni che hanno in questo stesso punto due delle 

 linee conjugate (s t ) della serie di linee (p(a), perciò 1' angolo (t t t g ) nel punto M 

 e 1' angolo formato dalle rette corrispondenti alle (t t ) e (t s ) nel punto fx immagine 

 del punto M saranno angoli eguali o supplementari l'uno dell'altro (n. 8) e per 

 conseguenza : se rpj(u , v) è una funzione arbitraria di u e di v , si supponga tracciata 

 sulla superficie (S) la serie delle linee rappresentate dall' equazione 



ip i (u,v) = ip 1 



nella quale ip t rappresenta nel secondo membro un parametro arbitrario e condotte per 

 le estremità degli archi elementari successivi ds di ciascuna di queste linee le tangenti 

 conjugate tutte nel medesimo senso, qualora su queste tangenti si tenga conto soltanto 

 dei segmenti compresi fra ciascuna linea (ip t ) della serie e la linea seguente (ip { -t- dip t ) : 

 la superficie, generalmente parlando, resterà divisa in parallelogrammi infinitesimi che 

 saranno rappresentati sulla sfera da altrettanti parallelogrammi e ogni parallelogrammo 

 sarà equiangolo (in generale non simile) col suo corrispondente. 



10. Nominiamo 6 t , 6 S , 3 , 4 gli angoli che le linee (s y ) , (s s ) , (s 3 ), (s é ) (n. 6) 

 ordinatamente fanno nel punto {u,v) colla linea di curvatura (v); e sarà 



a= V G 2rJ(l - A*) ' Ò= V 



lE M — N 



(1 _ A s ) ' V a 2r/(l — A s ) 



s, ' 



M = A*(r t * rf r/) — 2r t r s , N = A(r s — r i )\/,A s {r 1 -+- r s ) s — ér t r. 



