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 valore, quest' ultimo, dato dalla formula (9) quando si cangia in questa il segno 

 del raggio r t . Le formule (8) e (9) valgono adunque comunque sia positiva o 

 negativa nel punto (u } v) la curvatura totale della superficie (<S); la (8) dà l'an- 

 golo di due linee conjugate e la (9) 1' angolo di due linee anticoujugate ; la for- 

 mula (8) dimostra che in qualsivoglia superficie e in ogni punto della superficie 

 V angolo di due tangenti conjugate è complementare dell! angolo che ciascuna di esse fa 

 colla sua corrispondente nella rappresentazione sferica del Gauss , e per conseguenza 

 se uno di questi è conosciuto, è conosciuto anche V altro. 



11. Agli angoli d t ,d oì d 3 ,d 4 ,<fi ì o considerati nel (n. prec.) corrispondano 

 nella rappresentazione sferica gli angoli ,' , O ', d 3 \ 6J, (fi ', a ' e supponendo 

 positiva nel punto (u , v) la curvatura totale della superficie si troverà 



tg0' = tg(0,'— 0;) = -! J = — tg<p, cosfi' = - cos fi, 



,n> a, \/M + N—\/M — N 



tg© = tg (d t —d s ) = K- = tg o , cos a = cos a ; 



(%h-»"ì)|/2(1— A*) 



supponendo invece negativa nel punto (u , v) la curvatura totale della (S) si 

 troverebbe 



tg fi' = tg (fi , cos (^' = cos (fi , 



tg a' = — tg o , cos a' = — cos o . 



Questi risultamene dimostrano la seguente proprietà delle quattro linee (s { ) : 

 combinando iti ciascun punto della superficie (S) ognuna delle quattro linee (s t ) corri- 

 spondenti a un medesimo valore A* colla sua conjugata e poscia colla sua anticonjugata 

 si possono formare quattro diverse doppie serie di linee e ciascuna di queste doppie 

 serie divide la superficie (S) in parallelogrammi infinitesimi che sono equiangoli (in 

 generali nou simili) ciascuno colla propria immagine nella rappresentazione sferica 

 del Gauss. 



Per A p ■= 1 risulta 



cos (fi = cos (fi' = , cos a = cos a' = , 



le quattro linee si riducono a due sole (n. 5, 1") che sono le linee di curvatura 

 le quali perciò sono sempre linee conjugate ortogonali. 



Per A s = si ha cos* (fi = cos*<£) / = 1 : le quattro linee riduconsi alle due 

 assintotiche (n. 5, 2°) ciascuna con direzione conjugata a sé stessa : quando sono 



