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 reali, l'angolo o che formano è determinato dalla formula (9) ed è 



V T 



cos a = — 



r s -+- r t 



Se la superficie (8) è sviluppabile, sono linee di curvatura della superficie le 

 sue generatrici rette e le traiettorie ortogonali di queste : la curvatura delle ge- 

 neratrici rette è costantemente nulla, il valor limite di cos o dato dalla formula 

 precedente è 1' unità (che può essere positiva o negativa) e ciò prova che le due 

 linee assintotiche coincidono, mentre 1' equazione (5) delle linee assintotiche dimo- 

 stra che esse coincidono in ogni punto (u,v) colla generatrice retta della superficie 

 che passa per quel punto (*). 



Escludendo il caso che la (S) sia superfìcie sviluppabile , si potrà assumere a 

 linee coordinate le due linee (s d ) e {s s ) che formano 1' angolo o, vale a dire una 

 qualsiasi (s i ) delle quattro linee (sj e la anticonjugata (s s ) : gli archi elementari 

 di queste due linee sono espressi (n. 10) dalle 



/ M N \ 



ds s * = (E -f- QV) du s =E[l + 2 . (1 _ Af) ) **' , 



e se riferendo i punti della superficie alle nuove linee coordinate si rappresenta 

 con 



ds s = E,du s -4- 2F,dudv -+- G,dv* 

 ili 



il quadrato dell' elemento lineare della superficie si avranno per determinare 

 le E t1 F l ,G j le tre condizioni 



1\ du = , ds~ = dsf ; 2\ dv = , ds s = ds/ ; 3\ F t = [/ Efi t cos a 

 onde 



(10) <V= g(l -+- 2 ^ (l J^ ) du' + -2(,-, 4- r,j\J jgy (1 - A°)d«dv 



\ M -+- N / 



(*) Questa proprietà è caratteristica delle superficie sviluppabili e basta per definirle (V. n 14). 



