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 agli archi elementari ds l , ds s , ds corrispondano sulla sfera del Gauss gli archi 

 da t , da s , da e sarà 



, , {E 1 G\^ s Gì. 2r/(l — A s )\, g 



, s (E G , s \. , E (. M—N \ . 



<fo* = É/du*-*- 2F/dudv -+- G t dv* 

 mentre le E t \F t ', G { ' dovranno adempire le tre condizioni 

 l\ du = , d<r = rfa/, 2 a . <fo == , da 2 = da/, 3 a . F/ = ì/eJg~' cos o' 

 per le quali risulterà 



(11) d<7*= — ;( 1 H-^— 371 7KÌ du — 2 — Vii Tr (l—A*)dudv 



G /. 2r/(l — A*)\, , 

 r/V M-t-N I 



avvertendo che in quest' ultima formula si dovrà prendere il segno superiore se 

 la curvatura totale è positiva e il segno inferiore nel caso contrario. 

 Se si pone A s =: 1 , avvertendo che 



limit (M — N\_ 

 A*—\ \l — A*)~ 



le equazioni (10) e (11) si ridurranno alle 



E G 

 ds s = Edu s -+- Gdv 9 , da s = — s dir -\ s dv s ; 



r s r t 



le linee coordinate tornano ad essere le linee di curvatura della (S) ; se si pone 

 invece A s = e per conseguenza i/= — 2r t r g , ÌV=0, risulta 



(12) ds s ==Elì—^)du s +2{r 1 +r s )\/— — dudv-^-Gll— ^W, 



\ 8' 18 \ 1' 



espressione dell' elemento lineare della superficie riferito alle linee assintotiche (reali 

 in quelle parti della superficie soltanto nelle quali la curvatura totale è in tutti 



