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 i punti negativa) assunte a linee coordinate ; e pel corrispondente elemento li- 

 neare da della superficie sferica si ha 



(13) ^=4fl-^)^±2^±^V-— *«feH--,(l-^) 



<fo* 



Questi risultamenti dimostrano che we/fe superficie non sviluppabili il doppio sistema 

 delle linee di curvatura si può riguardare come un sistema particolare compreso insieme 

 col doppio sistema delle linee assintotiche fra i doppi sistemi di linee anticonjugate. 



Questo teorema si può estendere anche alle superficie sviluppabili, se non che 

 in queste superficie ogni generatrice retta è da riguardai^ come una linea doppia 

 fra le (s 2 ) conjugata e insieme anticonjugata di ognuna delle altre due linee (s t ) 

 che si intersecano in un punto di essa, come sarà dichiarato più avanti. 



12. Alla formula (A) si può dare altra forma. Nel punto (w,w) sia p il rag- 

 gio di curvatura dell' arco elementare ds e r il raggio di curvatura della sezione 

 normale che ha comune coli' arco ds la tangente : si avrà 



1 cos (rp) , s _, v d s x 



- == ^ , cos (rp) = 2Xp -— s 



r P r ds 



2Xp ?? = 4-2 %x(^du s +2~dudv-h^dv s ) = 4-2 (Ddu s -i-2D'dudv-hD"dv s ) , 

 r ds ds \ùu ì)uòv ùv / ds 



e quindi per la formula (A) 



. s cos (rp)ds ds 



p da rda ' 



Se 1' arco ds appartiene a una linea assintotica è (n. 5) A = e perciò anche 



cos (rp) = , 



onde quella nota proprietà delle linee assintotiche per la quale la loro curvatura 

 geodetica non si distingue dall' assoluta. Per le linee di curvatura e per queste 

 soltanto si ha 



A = :±r 1 , cos (rp) = 1 , rda = ± ds . 



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