— 674 — 



^Superfìcie sviluppabili. 



13. Suppongasi che nel punto (u,v) della superficie data (S) la curvatura 

 (1 : r s ) relativa alla linea (v) sia nulla : 1' equazione (1) prende in questo punto 

 la forma 



G . t i ov -. j EG 



- - 



i 



(14) — (1 — A s ) dv 4 — =^ A s du*dv s = 



r, r 



e si risolve nelle due 



a * n dvS E A * E ♦ *t <> 



dv = ° ' cu? 77 g T=a~* = e cotg {sa) : 



la prima rappresenta la linea di curvatura (v) (*), e per la seconda è 



, -\ IG dv a 



cotg (sa) = ± \f - — = tg : 



onde : se «n zm punto (u , «) c^a superficie (S) la curvatura principale relativa a una 

 per esempio (v) delle linee di curvatura è nulla, in quel punto due delle linee (s^) si 

 confondono colla linea di curvatura (v) e le altre due simmetriche rispetto a quest ul- 

 tima linea la intersecano ad angolo complementare di quello che ciascuna di esse fa 

 colla propria immagine sulla sfera nel punto corrispondente del punto (u , v). 



Se nella superficie (S) una linea di curvatura (u) fosse linea parabolica, perchè 

 nulla in ogni suo punto la curvatura relativa all'altra linea di curvatura (V), il 

 teorema ora dimostrato avrebbe luogo in tutti i punti della linea (u) ; il teorema 

 stesso poi si potrà applicare a tutti i punti della superficie (S) se questa è luogo 

 di punti tutti parabolici, di punti cioè nei quali la curvatura totale della super- 

 ficie è nulla ; e allora (S) è una superficie sviluppabile nella quale le rette ge- 

 neratrici sono linee di curvatura; si può quindi conchiudere che in qualsivoglia 

 superficie sviluppabile ogni traiettoria delle generatrici rette della superficie ha le sue 

 tangenti che formano colle tangenti nei punti corrispondenti della sua immagine un 

 angolo costante e complementare di quello che essa fa colle dette generatrici. 



Quest' ultimo teorema si può anche far discendere come conseguenza dal se- 

 guente : una lìnea qualsivoglia (s) tracciata sopra una superficie sviluppabile ha in 



(*) L' immagine sulla sfera dell' arco elementare ds r si riduce in questo caso a un punto , ri- 

 sultando da,, = 0. 



