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 ogni suo punto M la tangente che fa colla tangente la sua immagine a nel punto fj, 

 corrispondente del punto M un angolo (sa) complementare di quello (sv) che la tangente 

 stessa fa colla generatrice retta (v) che passa per M. È infatti evidente che le tra- 

 jettorie ortogonali (u) delle generatrici rette della superficie sono rappresentate 

 tutte da una medesima linea (u) che costituisce, come è noto, la rappresentazione 

 sferica della superficie sviluppabile : le linee (u), perchè linee di curvatura, hanno 

 le loro tangenti parallele alle tangenti nei punti corrispondenti della (u) ; questa 

 linea (u) essendo la rappresentazione di qualsivoglia linea della superficie e perciò 

 anche della (s) il teorema si fa evidente. Da questa proprietà delle superficie svi- 

 luppabili deriva altresì che le linee assintotiche in un punto qualsivoglia di tma su- 

 perficie sviluppabile coincidono amendue colla generatrice retta che passa per quel punto : 

 ond' è che per A = le quattro linee (s ( .) coincidono colla generatrice retta della 

 sviluppabile come mostra anche l'equazione (14) se vi si pone A = 0. 



14. Supponendo che la (S) sia una superficie sviluppabile, le sue linee as- 

 sintotiche rappresentate in generale dall' equazione 



du -t / E r 



da — V <; 



s 



devono coincidere e formare una sola linea qualunque sia il punto (u,v) della 

 superficie che si considera (n. 13), perciò il secondo membro dell' equazione pre- 

 cedente dovrà essere o lo zero o 1' infinito e quindi 



1 n l n 



— = U ovvero — = U : 



r r 



poniamo sia (1 : r s ) = e perciò le linee di curvatura (v) altrettante rette (rette 

 generatrici). Due direzioni conjugate debbono adempire la condizione (7) che in 

 questo caso diventa 



dv dv 



du du ' 



e in generale qualunque sia il valore di (dv : àu) la condizione è adempita se 

 è dv = : le generatrici rette della superficie hanno dunque direzione conjugata 

 a quella di qualsivoglia altra linea della superficie nei punti nei quali sono da 

 essa intersecate. Se (« i ) e (s s ) sono le due linee (s { ) , simmetriche rispetto alle 

 linee di curvatura, rappresentate dalla equazione del (n. 13) 



dv^_ E A 2 

 du~*~ G 1—A SÌ 



