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 e questa condizione riduce le formule (AJ, (1), (3) alle 



( ' Edu s -hGdv s ~ ' 



(16) G*(l _ ^*)tft,< _ 2^(?(1 -+- 4*)<fcW ■+■ E s (l — A s )du 4 = 



(17) ^ = ±Vli£Ì: 



l'angolo 6 che le quattro linee (s\) rappresentate da quest' ultima equazione fanno 

 colla linea di curvatura (v) è dato dalla formula 



quindi we^e superficie ad area minima le linee (s t ) fatino un angolo costante colle linee 

 di curvatura nei punti né quali sono intersecate da queste, teorema che si può anche 

 enunciare nel modo seguente : nelle superficie ad area minima le trajettorie delle linee 

 di curvatura sono le sole linee che hanno le loro tangenti ad angolo costante colle tan- 

 genti nei punti corrispondenti delle loro immagini sulla sfera : proprietà questa che 

 le superficie ad area minima hanno comune colle superficie sviluppabili (n. 13). 



17. Separando le quattro radici dell'equazione (17) e nominando (s t ), (s 5 ), 

 (s 3 ) , (s 4 ) ordinatamente le quattro linee rappresentate dalle equazioni 



dv _\j E{\ -j-A) dv __a / ■£(! —A) 

 du~ Ve(l-i)' du~~ V G(l -*- A) 

 (19) 



dv__ -\/ E{l -t-A) dv__ -t j Ejl — A) 



du~~ V Cr r (l — A) ' du~~ V6(i+i)' 



si riconoscerà facilmente che le linee (s y ) e (s 4 ) s' intersecano ad angolo retto e 

 così le linee (s s ) e (s 3 ), mentre sono corrugate le linee (s y ) e (s s ) e conjugate 

 pure sono le linee (s 3 ) e (s 4 ) ; perciò le quattro linee (s a .) formano sulla superficie 

 due doppi sistemi di linee ortogonali e due linee ortogonali di un sistema sono conju- 

 gate una a ciascuna delle linee dell' altro sistema. Ciascuno di questi doppi sistemi 

 di linee ortogonali è (n. 10 e 11) rappresentato sulla sfera da un doppio si- 

 stema di linee ortogonali, e ciò si accorda colla nota proprietà delle superficie ad 

 area minima, nelle quali un sistema di linee ortogonali ha sempre per immagine 

 un sistema di linee ortogonali, proprietà che si potrebbe derivare dal teorema qui 

 dimostrato, dal quale si può anche dedurre essere condizione non pure sufficiente 



