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 ma anche necessaria che due linee s'' intersechino ad angolo retto sulla superficie 

 perchè nel punto corrispondente a quello della loro intersecazione le loro imma- 

 gini formino un angolo retto. 



Per .4 = le quattro equazioni (19) si riducono alle due 



<x/E dv -i lE 



Vg ' d7i~~ Vg 



dv 



du V G ' du V Q 



rappresentanti le linee assintotiche le quali perciò s' intersecano ad angolo retto. 

 18. Se (p(u,v) = (p e l'integrale dell'equazione 



(20) Ài/(ì±A)Eduzt:À\/(l^zA)Gdv = 



equivalente all' equazione (17) purché sotto i segui radicali si prendano insieme 

 o i segni superiori o gli interiori e nella quale À rappresenta il fattore che rende 

 il suo primo membro un differenziale, cosicché si abbia 



^ = ^/(T±4p, ¥ = + Jl ] /{l+A)G ì 



cu ov 



il parametro differenziale del 1° ordine A i <^ della funzione <p{u , v) è 



A 1 <p = A l /(l±A) + (l±A): 



si sa che le due linee di curvatura di una superficie ad area minima formano uu 

 sistema ortogonale isotermo e, se questo è ridotto ai parametri isometrici, all' e- 

 spressione dell' elemento lineare della superficie si può dare la forma 



ds s = r s {du s -+- dv s ) ; 



si può dunque anche nell'equazione (20) ritenere E—G = r s e il fattore X una 

 eostante e per conseguenza costante il parametro A (5 , e ciò prova che nelle su- 

 perficie ad area minima ciascuno dei doppi sistemi di lùtee ortogonali rappresentati 

 dall' equazione (17) è sistema ortogonale isotermo. Per la stessa via si arriverebbe a 

 dimostrare che a tali sistemi ortogonali isotermi corrispondono sulla sfera sistemi 

 ortogonali isotermi, confermando in tal modo che la rappresentazione sferica del 

 Gauss di una superficie ad area minima è rappresentazione conforme. 



