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La formula (15) dimostra che la similitudine delle figure infinitesime sulla 

 superficie colle loro immagini sulla sfera è similitudine inversa; perchè mentre 

 risulta nullo 1' angolo che per dv = 1' arco elementare ds fa colla propria im- 

 magine da v , V angolo che per du == 1' arco ds u fa colla propria immagine da 

 l'iesce eguale a due retti ; cosicché se l' arco elementare ds si fa coincidere da 

 prima coli' arco ds poi rotare per un angolo retto intorno al pnnto (u , v) e 

 verso la linea (w) sino a coincidere coli' arco ds u , l'arco da immagine dell'arco ds 

 partendo dalla posizione da nella quale è parallelo e nello stesso senso del- 

 l' arco ds v roterà similmente di un angolo retto con rotazione in senso opposto a 

 quella dell' arco ds per andare a coincidere coli' arco da u parallelo a ds u ma in 

 senso opposto a quello di quest' arco. 



19. Le formule generali dei (n. 10 e li) confermano i risultamenti del (n. 

 prec). Neil' ipotesi che la curvatura media della superfìcie sia costantemente nulla, 

 si ha immediatamente 



cos o = 0, a = — , cos 0=0 



M = 2r/(l -+- A*) , N = Ur M ' , M±N= 2r/(l ± A)* 



e per le formule (10) e (11) posto E= G = r s 



ds* r= r» — — A {du 9 -4- dv s ) , do'=- ^-. (du s -+- dv*) , 



1 — (— A V t 1 — \— A. 



onde il sistema delle linee coordinate, che sono linee anticonjugate, è sistema iso- 

 termo (a parametri isometrici). Se si pone ^4 = diventano linee coordinate le 

 linee assintotiche ed è 



ds* = 2r s {du* H- dv s ) , da* = - {du* -+- dv*) 



r s 



risultamento identico con quello che si ricaverebbe dalle formule (12) e (13); e 

 finalmente per A = 1 si hanno di nuovo per linee coordinate le linee di curva- 

 tura colle formule 



ds* = r s (du* -f- dv*) , da* = — {du * -+- dv*) . 



' a 



La formula (9) dimostra inoltre che una qualsivoglia delle linee (s.) che non sia 

 una linea di curvatura e la sua anticonjugata non possono formare un sistema orto- 

 gonale se non è la {S) una superficie ad area minima. 



