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Mediante due sistemi di curve rettificabili, sia il campo A diviso in 

 parti ©j, a 2 ... o m , e ad esse sieno coordinati dei numeri L(q^), L(a> 2 ), ... L(o m ), 

 tutti compresi tra due numeri finiti L, l. Due altri sistemi di curve, pure 

 rettificabili, dividano il campo A nelle parti a[,o' 2 ... o' m ,, alle quali sieno ri- 

 spettivamente coordinati i numeri L(o[), L{d 2 ), ... L{d m ) pure compresi tra 

 Lete tra essi e i precedenti vi sia la relazione che, se una delle parti 

 ai ad es. o t ' è contenuta interamente in una delle o ad es., in a p , si abbia 



L(o' t ) < L(a p ) . 



Ciò posto, si consideri la somma 



S = OiL(o,) -+- a 2 L(o 2 ) h h a m L(a m ) ; 



ad ogni decomposizione del campo A in un insieme di parti 1 ,o s ...o my 



ottenuta come dianzi s' è detto, corrisponderà un determinato valore di S. 

 Il gruppo di tutti i valori S corrispondenti a tutti i possibili sistemi di 

 parti (a), ammette un limite superiore G e un limite inferiore G l . 



La massima corda che si possa condurre in una qualsiasi delle parti o 

 costituenti una determinata decomposizione del campo A , sia A : se si 

 considera una successione indefinita di sistemi qualunque di parti a, decom- 

 ponenti il campo A, al convergere della quantità A a zero, la S preceden- 

 temente definita, tende contemporaneamente ad un limite determinato che è 

 il suo limite inferiore G i . 



È questa una proposizione ben nota, che si dimostra fondandosi sul 

 fatto che se un'area T racchiusa entro una curva rettificabile è da due 

 sistemi di linee, divisa in parti z 1 ,r 2 , ... ,t„ secondo una legge qualunque e 

 di tali divisioni se ne immaginano infinite succedentisi cosi che la mas- 

 sima corda d nelle parti appartenenti a una stessa divisione, vada via via 

 impiccolendo indefinitamente, la somma di quelle parti T che sono at- 

 traversate dal contorno di T, tende a zero. Il che subito si vede pen- 

 sando un cerchio col centro sul contorno e con raggio d, che percorre il 

 contorno medesimo. Dentro la zona cosi occupata dalle successive posi- 

 zioni del cerchio cadono certamente tutte le parti delle quali si tratta. La 

 lunghezza della zona, essendo finita, l'area di esse si ridurrà piccola a 

 piacere, all'impiccolire di d. 



Il ragionamento con cui, fondandosi su ciò, si prova poi che, preso 

 un numero positivo a piccolo a piacere, esiste sempre un altro numero e 

 tale che per A<£, il valore S corrispondente soddisfa sempre alla disu- 

 guaglianza 



