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é ben semplice e troppo noto, perché occorra ripeterlo qui. 



2. — Se alle parti o 1 , o 2 ... o m sono coordinati dei numeri /(©j), l(a t )... l(o m ) 

 e alle altre a[, o 2 ... o' m ,, di un secondo sistema, dei numeri l(o[), Up'. 2 ) ... l(o'J) 

 tali che se o' t è contenuta in o p , sia 



l{a\) > l(a p ) , 

 allora la somma 



s = Ojlfa) -+- oJ(a 2 ) h h o m l(o m ) 



al decrescere indefinito delle A, qualunque sia del resto la legge di forma-r 

 Mone delle o, tende ad un limite determinato, che è il suo limite superiore g. 



3. — Sia f{xy) una funzione data nel campo A ; L e l i rispettivi li- 

 miti superiori e inferiori. I simboli L(o) e l(a) precedenti indichino rispet- 

 tivamente i limiti superiori e inferiori nella porzione o del campo A. — 

 Le due quantità 



lim 2q s L(q s ) = G. , lim 2a s l(a s ) = g 

 A = o à=zO 



sono chiamate, quella integrale superiore, questa integrale inferiore della 

 f(ocy) nel campo A. ( * ; 



Esiste l'integrale ff{xy)dA esteso al campo A quando é G 1 = g , cioè, 



A 



quando vi è un modo di impiccolimento delle a pel quale si ha 



lim 2a s D s = 

 A=o 



D s oscillazione della f{xy) in o s . 



4. — Si consideri una divisione del campo A in rettangoli AccAg e si 

 tenga fìsso per un momento , un valore di y e di Ay. — La somma 

 2>'AasL(y, Asc, Ay), dove L(y,Ax,Ay) indica il limite superiore della f(ocy) 

 nel rettangolo AxAy e la 2' è estesa a tutti i tratti Ax che cadono nella 

 porzione di retta Y=y contenuta nel campo, al convergere a zero delle 

 Ax, in virtù della prop. del n. 1 , tenderà ad un limite determinato che 

 chiameremo j(y, Ay). — Similmente sia i(y, Ay) il limite cui tende la 

 2'Axl(x, Ax, Ay) ; l(x, Ax, Ay) essendo il limite inferiore della f(xy) nel 

 rettangolo AxAy. 



(*) Vedi Volterra: Sul concetto di integrale defluito. Battagli ni Voi. XIX. — Bettazzi: 

 Sui concetti di derivazione ete. ib. Voi. XXII, e anche Peano: Sulle integrabilità delle funzioni.— 

 Atti dell'Accademia delle scienze di Torino, Voi. XVIII. 



