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Le due somme 2"Ayj(y,Ay) e I,"Ayi(y,Ay) dove 2" è estesa a tutti i 

 Ay nell'intervallo e...d, e e d essendo le ordinate estreme dei punti del 

 contorno C, al decrescere delle Ay, tendono rispettivamente ai limiti G l 



e g. Per conseguenza la condizione dell'esistenza dell'integrale Jf(xy)dA 



può anche dirsi che consiste nell'eguaglianza A 



lim V'Ay \j(y, Ay) - i(y, Ay) \ = . 

 Ay = 



5. — Ciò premesso, sulla retta Y=^y, per le prop. medesime dei 

 n. 1 e 2 relativi al caso che il campo A sia un tratto di retta si ha l'in- 

 tegrale superiore 



j(y) = lim VAxL{y, Ax) 



1) e l'integrale inferiore 



i(y) = lini I!Axl{y, Ax) 



Aa? = 



L(y, Ax) e l(y, Ax) denotando i rispettivi limiti superiori e inferiori della 

 f(xy) in un tratto Ax sulla retta Y=y e il segno 2' esteso, come dianzi 

 si é detto. 



Pongasi che esista l' integrale f A f(xy)dA : si può prendere allora 



2) ff(xy)dA = lim Z'Ay lim 2'Axl(y, Ax) 

 J k A#=0 A* = 



= lim 2"Ay lim HAxL{y, Ax) 



Ay — O Ax = 



e a cagione della 1) 



ff{xy)dA = lim Z'Ayi(y) = lim 2"AyJ(y) . 

 ~ A^=0 Aij=0 



Le funzioni i(y) e j(y) sono dunque atte all'integrazione nell'intervallo 

 e . . . d e la differenza j(y) — i(y) è ioi una funzione di integrale nullo, giac- 

 ché f A f(xy)dA esiste non solamente esteso al campo A, ma anche esteso 

 a una porzione qualunque di esso e quindi la 2" nella 2) può esser bene 

 estesa a una parte qualunque di e ... d. 



L' essere j(y) — i(y) di integrale nullo ci dice che, assegnato un numero 



